Chủ đề này có 6 trả lời

[nuoccam]

Tìm f: $R^+ -> R^+$ thỏa mãn:

$f(x+y)+f(x).f(y) = f(xy)+f(x)+f(y)$

[lvx]

$f(x)=x,\;\;x\in\mathbb{R}^+$ là một trường hợp... Còn nghiệm nào khác không nhỉ?

[superpower]

Tìm f: $R^+ -> R^+$ thỏa mãn:

$f(x+y)+f(x).f(y) = f(xy)+f(x)+f(y)$

Bài này chỉ từ $N* -> N*$ thôi bạn

[ThEdArKlOrD]

Let $P(x,y)$ be the assertion of $f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y)$ for all $x,y\in \mathbb{R}^+$

$P(x,y+z)$ give us $f(x+y+z)=f(x) + f(y + z) + f(xy + xz)-f(x)f(y + z)=f(x)+f(y)+f(z)+f(xy)+f(yz)+f(zx) + f(x)f(y)f(z)-f(x)f(y)-f(y)f(z)-f(z)f(x)+f(x^2yz)-f(xy)f(xz)-f(x)f(yz)$ for all $x,y,z\in \mathbb{R}^+$

Similarly, use this with $P(y,z+x)$ give us $f(x^2yz)-f(xy)f(xz)-f(x)f(yz) = f(xy^2z)-f(xy)f(yz)-f(y)f(xz)$ for all $x,y,z\in \mathbb{R}^+$

Set $y=1$ in that equation give us $f(x^2z)-f(x)f(xz)-f(x)f(z)=f(xz)-f(x)f(z)-f(1)f(xz)$ for all $x,z\in \mathbb{R}^+$

Which is $f(x^2z)=(1-f(1))f(xz)+f(x)f(xz)$ for all $x,z\in \mathbb{R}^+$, so $f(xy)=(1-f(1))f(y)+f(x)f(y)$ for all $x,y\in \mathbb{R}^+$

Since $f(xy)=(1-f(1))f(y)+f(x)f(y)=(1-f(1))f(x)+f(x)f(y)$ for all $x,y\in \mathbb{R}^+$ give us $f(x)=c$ constant or $f(1)=1$

If $f(x)=c$, we get $c+c^2=3c$, so $f(x)=2$ for all $x\in \mathbb{R}^+$

Otherwise, $f(1)=1$, so $f(xy)=f(x)f(y)$ for all $x,y\in \mathbb{R}^+$, so $f(x+y)=f(x)+f(y)$ for all $x,y\in \mathbb{R}^+$

Since $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$, so we get $f(x)=cx$ for constant $c$, check in $P(x,y)$ give $c=1$

So the answer is $f(x)=2$ for all $x\in \mathbb{R}^+$ and $f(x)=x$ for all $x\in \mathbb{R}^+$

 

Gọi $P(x,y)$ một phép thế tương ứng của $f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}^+$

$P(x,y+z)$ cho ta $f(x+y+z)=f(x) + f(y + z) + f(xy + xz)-f(x)f(y + z)=f(x)+f(y)+f(z)+f(xy)+f(yz)+f(zx) + f(x)f(y)f(z)-f(x)f(y)-f(y)f(z)-f(z)f(x)+f(x^2yz)-f(xy)f(xz)-f(x)f(yz)$ với mọi $x,y,z\in \mathbb{R}^+$

Tương tự, $P(y,z+x)$ cho $f(x^2yz)-f(xy)f(xz)-f(x)f(yz) = f(xy^2z)-f(xy)f(yz)-f(y)f(xz)$ với mọi $x,y,z\in \mathbb{R}^+$

Thay $y:=1$ vào PT trên $f(x^2z)-f(x)f(xz)-f(x)f(z)=f(xz)-f(x)f(z)-f(1)f(xz)$ với mọi $x,z\in \mathbb{R}^+$

Có nghĩa là $f(x^2z)=(1-f(1))f(xz)+f(x)f(xz)$ với mọi $x,z\in \mathbb{R}^+$, vậy $f(xy)=(1-f(1))f(y)+f(x)f(y)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}^+$

Từ $f(xy)=(1-f(1))f(y)+f(x)f(y)=(1-f(1))f(x)+f(x)f(y)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}^+$ thu được $f(x)=c$ hằng số hoặc $f(1)=1$

Nếu $f(x)=c$, ta thu được $c+c^2=3c$, vậy $f(x)=2$ với mọi $x\in \mathbb{R}^+$

Ngược lại, nếu $f(1)=1$, vậy $f(xy)=f(x)f(y)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}^+$, suy ra $f(x+y)=f(x)+f(y)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}^+$

Vì $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$, nên ta suy ra $f(x)=cx$ với hằng số $c$, kiểm tra với $P(x,y)$ cho ra $c=1$

Vậy hàm cần tìm là $f(x)=2$ với mọi $x\in \mathbb{R}^+$ và $f(x)=x$ với mọi $x\in \mathbb{R}^+$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 16-04-2016 - 11:14

[nuoccam]

Bài này chỉ từ $N* -> N*$ thôi bạn

Thế nào anh 

[JUV]

Let $P(x,y)$ be the assertion of $f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y)$ for all $x,y\in \mathbb{R}^+$

$P(x,y+z)$ give us $f(x+y+z)=f(x) + f(y + z) + f(xy + xz)-f(x)f(y + z)=f(x)+f(y)+f(z)+f(xy)+f(yz)+f(zx) + f(x)f(y)f(z)-f(x)f(y)-f(y)f(z)-f(z)f(x)+f(x^2yz)-f(xy)f(xz)-f(x)f(yz)$ for all $x,y,z\in \mathbb{R}^+$

Similarly, use this with $P(y,z+x)$ give us $f(x^2yz)-f(xy)f(xz)-f(x)f(yz) = f(xy^2z)-f(xy)f(yz)-f(y)f(xz)$ for all $x,y,z\in \mathbb{R}^+$

Set $y=1$ in that equation give us $f(x^2z)-f(x)f(xz)-f(x)f(z)=f(xz)-f(x)f(z)-f(1)f(xz)$ for all $x,z\in \mathbb{R}^+$

Which is $f(x^2z)=(1-f(1))f(xz)+f(x)f(xz)$ for all $x,z\in \mathbb{R}^+$, so $f(xy)=(1-f(1))f(y)+f(x)f(y)$ for all $x,y\in \mathbb{R}^+$

Since $f(xy)=(1-f(1))f(y)+f(x)f(y)=(1-f(1))f(x)+f(x)f(y)$ for all $x,y\in \mathbb{R}^+$ give us $f(x)=c$ constant or $f(1)=1$

If $f(x)=c$, we get $c+c^2=3c$, so $f(x)=2$ for all $x\in \mathbb{R}^+$

Otherwise, $f(1)=1$, so $f(xy)=f(x)f(y)$ for all $x,y\in \mathbb{R}^+$, so $f(x+y)=f(x)+f(y)$ for all $x,y\in \mathbb{R}^+$

Since $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$, so we get $f(x)=cx$ for constant $c$, check in $P(x,y)$ give $c=1$

So the answer is $f(x)=2$ for all $x\in \mathbb{R}^+$ and $f(x)=x$ for all $x\in \mathbb{R}^+$

Why?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 19-05-2016 - 21:28

[superpower]

Why?

Đấy là 1 bổ đề rất hay gặp trong PTH đó bạn, bạn có thể xem trong cuốn chuyên khảo PTH hoặc là cuốn bồi dưỡng HSG PTH của thầy Nguyễn Tài Chung