Chủ đề này có 1 trả lời

[Ego]

Ta gọi $w(x)$ là ước số lẻ lớn nhất của $x$. Cho $a, b$ là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và $a + w(b + 1)$ và $b + w(a + 1)$ đều là lũy thừa của $2$. Chứng minh rằng cả $a + 1$ và $b + 1$ đều là lũy thừa của $2$.

Nguồn: Serbia Additional TST 2016

Sao số học của Serbia hay thế này T.T

[bangbang1412]

Đặt $a=2^{m}x-1$ và $b=2^{n}y-1$ với $x,y$ lẻ thì ta có 

$a+y=2^{p}$

$b+x=2^{q}$ 

Tương đương với

$2^{m}x + y -1 = 2^{p}$

$2^{n}y + x - 1 =2^{q}$

Trong đó $p,q \in N$ 

Chúng ta cần chứng minh $x,y=1$

Hiển nhiên nếu $x=1$ thì $y=1$ và ngược lại , ta giả sử $x,y>1$

Giả sử $x - 1=2^{c}.i$ và $y - 1 = 2^{d}.j$ thế thì $2^{m}(x + 2^{d-m}j)=2^{p}$ , nếu $d\geq m$ thì vô lý vì khi đó $x+2^{c-m}i$ có ước lẻ lớn hơn $1$ 

Điều đó cho ta $d=m,c=n$ nên ta có $x + j= 2^{p-m}$ và $y + i = 2^{q-n}$

Từ đó $x-1 + j+1= 2^{p-m}$ tương tự suy ra $v_{2}(x-1)=v_{2}(j+1)=c=n$ 

Nên $i+w(j+1)=i+\frac{j+1}{2^{n}}=\frac{2^{n}i+j+1}{2^{n}}=2^{p-m-n}$

Tương tự $j+w(i+1)=2^{q-n-m}$

Do đó cặp $(i,j)$ cũng là cặp thỏa mãn ( hiển nhiên chúng nguyên tố cùng nhau vì nếu có ước chung sẽ là $2$ ( $x+j=2^{p-m}$) nhưng chúng đều lẻ) 

Ta tính được $(i,j)=(\frac{a+1-2^{m}}{2^{m+n}},\frac{b+1-2^{n}}{2^{m+n}})$ ta có $i<a,j<b$

Từ đó thu được hai dãy $a_{1}=a,a_{t+1}=\frac{a_{t}+1-2^{m}}{2^{m+n}}$ còn dãy $b$ tương tự

Giả sử đến lúc nào đó $a_{t+1}=0$ thì $a_{t}=2^{m}-1$ thì $a_{t-1}=(2^{m}-1)2^{m+n}+2^{m}-1=(2^{m}-1)(2^{m+n}+1)=>a_{t-2}=(2^{2(m+n)}+2^{m+n})(2^{m}-1)$

Nên nó có dạng $\frac{2^{t(m+n)}-1}{2^{m+n}-1}(2^{m}-1)$ tương tự với dãy kia

Do nó giảm nên lúc nào đó sẽ có một cặp $(a_{u},b_{u})=(0,0)$

Nên nó nguyên tố cùng nhau thì $t=1$ do đó có đpcm . 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 19-05-2016 - 20:15