Chủ đề này có 2 trả lời

[Cellain Lu]

Cho đa giác đều có 10 đỉnh, số tứ giác có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác và 4 cạnh không là cạnh của đa giác là.

[hxthanh]

Cho đa giác đều có 10 đỉnh, số tứ giác có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác và 4 cạnh không là cạnh của đa giác là.

Số cách xếp 4 chiếc ghế đen và 6 chiếc ghế trắng quanh 1 bàn tròn sao cho không có hai chiếc ghế đen nào ở cạnh nhau.

Mô hình: $\qquad d_1t_1d_2t_2d_3t_3d_4t_4$

$d_1,d_2,d_3,d_4$ là vị trí 4 chiếc ghế đen

$t_1, t_2, t_3, t_4$ là số lượng ghế trắng ở từng vị trí, lưu ý là số ghế trắng $t_4$ cũng kề với $d_1$

Từ đó ta có phương trình:

$\begin{cases}t_1+t_2+t_3+t_4=6\\ t_1,t_2,t_3,t_4>0\end{cases}$

Số nghiệm pt theo bài toán chia kẹo Euler là $C_5^3=10$

Như vậy số tứ giác thỏa điều kiện xuất phát từ đỉnh $d_1$ là $10$

Có $10$ đỉnh, nhưng cùng một hình tứ giác lại được tính bội thành $4$ lần ở $4$ đỉnh nên:

Kết quả bài toán là $10\times \frac{10}{4}=25$ tứ giác.

[hxthanh]

Cách làm khác

Đánh số các đỉnh thập giác theo thứ tự $0,1,...,9$

Lập một dãy 4 chữ số $abcd$ sao cho: $\begin{cases}3\leq a+3<b+2<c+1<d \leq 9\\ a=0\Rightarrow d\neq 9\end{cases}$

Chia ra hai trường hợp ta có:

$\left[\begin{matrix} a=0,\;1\leq b-1<c-2<d-3 \leq 5&\Rightarrow C_5^3&\text{(cách)}\\ 1\leq a<b-1<c-2<d-3\leq 6&\Rightarrow C_6^4&\text{(cách)}\end{matrix}\right.$

Như vậy có tất cả $C_5^3+C_6^4=25$ dãy các chữ số trên

Dãy được lập như trên thỏa mãn: thứ tự các đỉnh tăng dần, các đỉnh cách nhau ít nhất một đỉnh ở giữa, như vậy cũng chính là số tứ giác thỏa yêu cầu bt.