Chủ đề này có 1 trả lời

[lehakhiem212]

Cho a,b,c>0

 Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a}{c+3a}}+\sqrt{\frac{b}{a+3b}}+\sqrt{\frac{c}{b+3c}}\leq \frac{3}{2}$

 

[81NMT23]

Cho a,b,c>0

 Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a}{c+3a}}+\sqrt{\frac{b}{a+3b}}+\sqrt{\frac{c}{b+3c}}\leq \frac{3}{2}$

Áp dụng BDDT Cauchy ta có:$\sqrt{\frac{a}{c+3a}}= 2\sqrt{\frac{a}{c+3a}.\frac{1}{4}}\leqslant \frac{a}{c+3a}+\frac{1}{4}$

Tương tự với 2 phân thức còn lại suy ra:

$\sqrt{\frac{a}{c+3a}}+\sqrt{\frac{b}{a+3b}}+\sqrt{\frac{c}{b+3c}}\leqslant \frac{a}{c+3a}+\frac{b}{a+3b}+\frac{c}{b+3c}+\frac{3}{4}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopski dạng cộng mẫu Engel ta có: $\frac{4^{2}}{c+3a}\leqslant  \frac{3^{2}}{a+2b}+\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{a}{c+3a}\leqslant \frac{1}{16}(\frac{9a}{a+2b}+\frac{a}{a})$

Tương tự suy ra:$\frac{a}{c+3a}+\frac{b}{a+3b}+\frac{c}{b+3c}+\frac{3}{4}\leqslant \frac{1}{16}(\frac{9a}{a+2a}+\frac{9b}{a+2b}+\frac{9c}{b+2c}+3)+\frac{3}{4}$

Ta sẽ chứng minh:

$\frac{2a}{c+2a}+\frac{2b}{a+2b}+\frac{2c}{b+2c}\leqslant 2\Leftrightarrow \frac{c}{c+2a}+\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}\geqslant 1\Leftrightarrow \frac{c^{2}}{c^{2}+2ac}+\frac{a^{2}}{a^{2}+2ba}+\frac{b^{2}}{b^{2}+2cb}\geqslant 1$( đúng theo BĐT cộng mẫu)

$\Rightarrow \frac{2a}{c+2a}+\frac{2b}{a+2b}+\frac{2c}{b+2c}\leqslant 2\Rightarrow 9(\frac{a}{c+2a}+\frac{b}{a+2b}+\frac{c}{b+2c})\leqslant 9$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{c+3a}}+\sqrt{\frac{b}{a+3b}}+\sqrt{\frac{c}{b+3c}}\leq  \frac{a}{c+3a}+\frac{b}{a+3b}+\frac{c}{b+3c}+\frac{3}{4}\leqslant \frac{1}{16}(\frac{9a}{a+2a}+\frac{9b}{a+2b}+\frac{9c}{b+2c}+3)+\frac{3}{4}\leqslant \frac{1}{16}(9+3)+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$( đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 81NMT23: 07-04-2016 - 20:32