Chủ đề này có 3 trả lời

[baopbc]

Sau một chút tìm tòi nhỏ, mình tìm ra tính chất sau:

Bài toán. Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. Gọi $D$ là hình chiếu của $I$ lên $BC$. Một đường tròn đi qua $D$ tiếp xúc với $BC$ cắt $AC,AB$ tại $E,F$. Gọi $X$ là tiếp điểm của đường tròn $Mixilinear$ ứng với đỉnh $A$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $(AEF)$. Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và $BXC$ tiếp xúc nhau.

Hình vẽ

Từ đây ta đặt ra câu hỏi, liệu có liên hệ nào giữa hai điểm $E,F$ và $X$ trong trường hợp bất kì?

Mình đề xuất bài toán tổng quát như sau. (Nếu được, có thể coi đó là tiêu chuẩn trong việc chứng minh những bài toán như trên.)

Bài toán đề xuất.

Cho tam giác $ABC. E,F$ là hai điểm bất kì trên đoạn $AC,AB$. Tìm tiêu chuẩn của điểm $X$ thuộc $(AEF)$ sao cho đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BXC$ và $AEF$ tiếp xúc nhau

Hình vẽ

Bạn nào quan tâm có thể xem thêm một bài toán trên $FG$ 2014 của thầy Trần Quang Hùng có một bài toán xoay quanh vấn đề này tại đây.

[mehinhhoc]

Tiêu chuẩn rõ ràng nhất là tổng 2 góc XEF và XCB bằng góc FXB. Còn vào từng bài việc che được điều kiện đó là nghệ thuật của người ra đề

[baopbc]

Tiêu chuẩn rõ ràng nhất là tổng 2 góc XEF và XCB bằng góc FXB. Còn vào từng bài việc che được điều kiện đó là nghệ thuật của người ra đề

Đây chỉ là tiêu chuẩn tối thiểu thôi bạn! Việc mình muốn tìm ở đây là các xác định điểm $X$ khi đã biết dữ kiện của $E,F$. Nếu thích, bạn có thể thử với bái toán gốc trên!

[baopbc]

Bài toán gốc mình đã đưa lên AopS và được Tev Cohl cho lời giải tại đây!