Sau một chút tìm tòi nhỏ, mình tìm ra tính chất sau:
Bài toán. Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. Gọi $D$ là hình chiếu của $I$ lên $BC$. Một đường tròn đi qua $D$ tiếp xúc với $BC$ cắt $AC,AB$ tại $E,F$. Gọi $X$ là tiếp điểm của đường tròn $Mixilinear$ ứng với đỉnh $A$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $(AEF)$. Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và $BXC$ tiếp xúc nhau.
Hình vẽ
Từ đây ta đặt ra câu hỏi, liệu có liên hệ nào giữa hai điểm $E,F$ và $X$ trong trường hợp bất kì?
Mình đề xuất bài toán tổng quát như sau. (Nếu được, có thể coi đó là tiêu chuẩn trong việc chứng minh những bài toán như trên.)
Bài toán đề xuất.
Bạn nào quan tâm có thể xem thêm một bài toán trên $FG$ 2014 của thầy Trần Quang Hùng có một bài toán xoay quanh vấn đề này tại đây.