Chủ đề này có 1 trả lời

[huya1k43pbc]

Cho $a,b,c>0.CMR: a^3+b^3+c^3+3abc\geq 2\sqrt[3]{abc}(a^2+b^2+c^2)$

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a,b,c>0.CMR: a^3+b^3+c^3+3abc\geq 2\sqrt[3]{abc}(a^2+b^2+c^2)$

 

Chuẩn hóa $abc=1$ và đặt $t=\sqrt{ab}.$ Xét biểu thức

\[f(a,b,c) = a^3+b^3+c^3+3 - 2(a^2+b^2+c^2).\]

Ta sẽ chứng minh

\[f(a,b,c) \geqslant f(t,t,c) \geqslant 0.\]

Thật vậy, giả sử $c = \min\{a,b,c\}$ thì $c \leqslant 1$ và $ab \geqslant 1,$ khi đó

\[f(a,b,c)-f(t,t,c)=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left [ \left ( a+b+\sqrt{ab} \right )^2-2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2 \right ].\]

Do $ab \geqslant 1$ nên theo bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz, ta có

\[\left ( a+b+\sqrt{ab} \right )^2 \geqslant 4\sqrt{ab}(a+b) \geqslant 4(a+b)  \geqslant 2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2.\]

Vậy $f(a,b,c) \geqslant f(t,t,c),$ việc còn lại  chứng minh $f(t,t,c) \geqslant 0,$ nhưng khá hiển nhiên vì

\[f(t,t,c)=f\left ( t,t,\frac{1}{t^2} \right ) = \frac{(t-1)^2(2t^7-2t^5-t^4+t^2+2t+1)}{t^6} \geqslant 0.\]

Bài toán được chứng minh.