Chủ đề này có 3 trả lời

[hoakute]

Cho a,b,c >0 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ . Chứng minh rằng:

                              $\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^{2}}{b+ca}+\frac{c^{2}}{c+ab}\geqslant \frac{a+b+c}{4}$

 

[hieuhanghai]

$Ta có : (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\geq 3(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})$

=>$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \leq \frac{1}{3}$ (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có: 

$\frac{a^{2}}{a+bc}+ \frac{b^{2}}{b+ac}+ \frac{c^{2}}{c+ab}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c+ab+bc+ac}$

Ta đưa về chứng minh: 

$\frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c+ab+bc+ac}\geq \frac{a+b+c}{4}$

hay chứng minh: $\frac{a+b+c}{a+b+c+ab+bc+ac}\geq \frac{1}{4}$

<=>$3(a+b+c)\geq ab+bc+ac$

Mà $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}=1$=> ab+bc+ac=abc

=>C/m: $\frac{a+b+c}{abc}\geq \frac{1}{3}$

hay $\frac{1}{bc}+ \frac{1}{ab}+ \frac{1}{ac}$ $\geq \frac{1}{3}$( C/m ở 1 )

=> ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuhanghai: 11-04-2016 - 22:34

[NTA1907]

Cho a,b,c >0 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ . Chứng minh rằng:

                              $\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^{2}}{b+ca}+\frac{c^{2}}{c+ab}\geqslant \frac{a+b+c}{4}$

$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+abc}=\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}$ 

Áp dụng AM-GM ta có:

$\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq \frac{3a}{4}$

Tương tự cộng lại ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 12-04-2016 - 13:17

[hoakute]

$Ta có : (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\geq 3(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})$

=>$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \leq \frac{1}{3}$ (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có: 

$\frac{a^{2}}{a+bc}+ \frac{b^{2}}{b+ac}+ \frac{c^{2}}{c+ab}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c+ab+bc+ac}$

Ta đưa về chứng minh: 

$\frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c+ab+bc+ac}\geq \frac{a+b+c}{4}$

hay chứng minh: $\frac{a+b+c}{a+b+c+ab+bc+ac}\geq \frac{1}{4}$

<=>$3(a+b+c)\geq ab+bc+ac$

Mà $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}=1$=> ab+bc+ac=abc

=>C/m: $\frac{a+b+c}{abc}\geq \frac{1}{3}$

hay $\frac{1}{bc}+ \frac{1}{ab}+ \frac{1}{ac}$ $\geq \frac{1}{3}$( C/m ở 1 )

=> ĐPCM

hai cái kia ngc dấu rồi bn