Chứng minh với mọi $a,b,c$ dương:
$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
Chú ý: Khi viết đề phải kiếm tra kĩ (KietLW9)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 16-04-2021 - 17:49
Chứng minh với mọi $a,b,c$ dương:
$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
Chú ý: Khi viết đề phải kiếm tra kĩ (KietLW9)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 16-04-2021 - 17:49
Chứng minh với mọi $a,b$ thực:
$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
Theo AM-GM ta có:
$2xyz+1=xyz+xyz+1\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}\geq \frac{9xyz}{x+y+z}$
Khi đó chỉ cần chứng minh: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{9xyz}{x+y+z}\geq 2(xy+yz+zx)$
Khai triển và rút gọn ta được bất đẳng thức sau:
$x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$(luôn đúng vì đây là bất đẳng thức Schur bậc 3)
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
Theo AM-GM ta có:
$2xyz+1=xyz+xyz+1\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}\geq \frac{9xyz}{x+y+z}$
Khi đó chỉ cần chứng minh: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{9xyz}{x+y+z}\geq 2(xy+yz+zx)$
Khai triển và rút gọn ta được bất đẳng thức sau:
$x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$(luôn đúng vì đây là bất đẳng thức Schur bậc 3)
Bạn à đề bài không hề cho dương hay bất cứ đk gì để áp dụng cauchy 3 số
"Attitude is everything"
Bạn à đề bài không hề cho dương hay bất cứ đk gì để áp dụng cauchy 3 số
Bđt này chỉ đúng khi a,b,c>0 bạn ak, chắc bạn ngochapid ghi thiếu đề ấy mà
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
Cách khác: Theo nguyên tắc Đi-rích-lê trong 3 số a-1;b-1;c-1 luôn tồn tại 2 số có tích không âm.
Giả sử (a-1)(b-1)$\geq 0$
=>(a-1)(b-1)c$\geq 0$
<=>$abc-bc-ac+c\geq 0$
<=>$abc\geq ac+bc-c$
=>A=$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ac+bc-c)+1$
Mà $a^{2}+b^{2}\geq 2ab;c^{2}-2c+1=(c-1)^{2}\geq 0$
=>$A\geq 2(ab+bc+ac)$
Đề thiếu a,b,c>0 nha.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuhanghai: 13-04-2016 - 22:07
Giả sử c = min{a,b,c}
Đặt $f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)$ và $t=\sqrt{ab}\geqq c$
Có: $f(a,b,c)-f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(a+b+2\sqrt{ab}-2c)\geqq 0$
$\Rightarrow f(a,b,c)\geqq f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c) =f(t,t,c)$
Ta cần chứng minh f(t,t,c) không âm
Thật vậy: $f(t,t,c)=c^2+2t^2c-4tc+1=(c-1)^2+2c(t-1)^2\geqq 0$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh