Chủ đề này có 5 trả lời

[ngochapid]

Chứng minh với mọi $a,b,c$ dương: 

$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

Chú ý: Khi viết đề phải kiếm tra kĩ (KietLW9)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 16-04-2021 - 17:49

[NTA1907]

Chứng minh với mọi $a,b$ thực: 

$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

Theo AM-GM ta có:

$2xyz+1=xyz+xyz+1\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}\geq \frac{9xyz}{x+y+z}$

Khi đó chỉ cần chứng minh: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{9xyz}{x+y+z}\geq 2(xy+yz+zx)$

Khai triển và rút gọn ta được bất đẳng thức sau:

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$(luôn đúng vì đây là bất đẳng thức Schur bậc 3)

[Issac Newton of Ngoc Tao]

Theo AM-GM ta có:

$2xyz+1=xyz+xyz+1\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}\geq \frac{9xyz}{x+y+z}$

Khi đó chỉ cần chứng minh: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{9xyz}{x+y+z}\geq 2(xy+yz+zx)$

Khai triển và rút gọn ta được bất đẳng thức sau:

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$(luôn đúng vì đây là bất đẳng thức Schur bậc 3)

Bạn à đề bài không hề cho dương hay bất cứ đk gì để áp dụng cauchy 3 số

[NTA1907]

Bạn à đề bài không hề cho dương hay bất cứ đk gì để áp dụng cauchy 3 số

Bđt này chỉ đúng khi a,b,c>0 bạn ak, chắc bạn ngochapid ghi thiếu đề ấy mà

[hieuhanghai]

Cách khác: Theo nguyên tắc Đi-rích-lê trong 3 số a-1;b-1;c-1 luôn tồn tại 2 số có tích không âm.

Giả sử (a-1)(b-1)$\geq 0$

=>(a-1)(b-1)c$\geq 0$

<=>$abc-bc-ac+c\geq 0$

<=>$abc\geq ac+bc-c$

=>A=$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ac+bc-c)+1$

Mà $a^{2}+b^{2}\geq 2ab;c^{2}-2c+1=(c-1)^{2}\geq 0$

=>$A\geq 2(ab+bc+ac)$

Đề thiếu a,b,c>0 nha.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuhanghai: 13-04-2016 - 22:07

[KietLW9]

Giả sử c = min{a,b,c}

Đặt $f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)$ và $t=\sqrt{ab}\geqq c$

Có: $f(a,b,c)-f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(a+b+2\sqrt{ab}-2c)\geqq 0$

$\Rightarrow f(a,b,c)\geqq f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c) =f(t,t,c)$

Ta cần chứng minh f(t,t,c) không âm

Thật vậy: $f(t,t,c)=c^2+2t^2c-4tc+1=(c-1)^2+2c(t-1)^2\geqq 0$ 

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1