Chủ đề này có 1 trả lời

[I Love MC]

Một số nguyên dương $n$ ta có thể gọi được là "mạnh" nếu tồn tại số nguyên dương $x$ thỏa mãn $x^{xn}+1$ chia hết cho $2^n$ 
. Nếu $m$ "mạnh" hãy xác định số nguyên dương $y$ nhỏ nhất (theo $m$) sao cho $y^{ym}+1 \vdots 2^m$. 
P/s : Em mới học LTE được 1 bữa nên mong các anh chỉ bảo  
Trích từ đề Indo 2013

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 13-04-2016 - 22:27

[Ego]

Để ý $y$ lẻ.

• $m$ không thể chẵn vì $v_{2}(y^{ym} + 1) = 1 < 2$. Không tồn tại $y$.
• Nếu $m = 1$ thì dễ thấy $y = 1$.
• Nếu $m \ge 3$ lẻ thì suy ra ngay $y$ dạng $4k + 3$.
  Áp dụng bổ đề LTE thì $v_{2}(y^{ym} + 1) = v_{2}(y^{2ym} - 1) - v_{2}(y^{ym} - 1) = v_{2}(y - 1) + v_{2}(y + 1) + v_{2}(2ym) - 1 - v_{2}(y^{ym} - 1) = v_{2}(y + 1)$
  Để $2^{m}\mid y^{ym} + 1$ thì $v_{2}(y + 1) \ge m \iff y + 1 = 2^{m}.K$. Do tính nhỏ nhất của $y$ nên $K = 1$ hay $y = 2^{m} - 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 16-04-2016 - 16:39