Chứng minh rằng n! không chia hết cho 2n
Chứng minh không chia hết
#1
Đã gửi 17-04-2016 - 07:43
#2
Đã gửi 17-04-2016 - 09:51
Với n=1, dễ dàng thấy 1! không chia hết cho $2^{n}$
Giả sử $n=k$ thì $k!$ không chia hết cho $2^{k}$
Khi đó ta cần chứng minh $\left ( k+1 \right )!$ không chia hết cho $2^{\left ( k+1 \right )}$
$\left ( k+1 \right )!=k!.\left ( k+1 \right )$
Dễ dàng chứng minh được đẳng thức trên, do đó mệnh đề cần chứng minh đúng với mọi n
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superherokhang: 17-04-2016 - 09:52
- ineX yêu thích
#3
Đã gửi 17-04-2016 - 12:06
Với n=1, dễ dàng thấy 1! không chia hết cho $2^{n}$
Giả sử $n=k$ thì $k!$ không chia hết cho $2^{k}$
Khi đó ta cần chứng minh $\left ( k+1 \right )!$ không chia hết cho $2^{\left ( k+1 \right )}$
$\left ( k+1 \right )!=k!.\left ( k+1 \right )$
Dễ dàng chứng minh được đẳng thức trên, do đó mệnh đề cần chứng minh đúng với mọi n
Có đẳng thức đó thì sao mệnh đề đó đúng được nhỉ?
#4
Đã gửi 17-04-2016 - 21:54
Chứng minh rằng n! không chia hết cho 2n
$v_2(n!)=[\frac{n}{2}]+...+[\frac{n}{2^x}]<n$
- Lareadx yêu thích
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
#5
Đã gửi 17-04-2016 - 22:07
Với n=1, dễ dàng thấy 1! không chia hết cho $2^{n}$
Giả sử $n=k$ thì $k!$ không chia hết cho $2^{k}$
Khi đó ta cần chứng minh $\left ( k+1 \right )!$ không chia hết cho $2^{\left ( k+1 \right )}$
$\left ( k+1 \right )!=k!.\left ( k+1 \right )$
Dễ dàng chứng minh được đẳng thức trên, do đó mệnh đề cần chứng minh đúng với mọi n
n=0 thì sao bạn (chắc đề thiếu ĐK)
#6
Đã gửi 18-04-2016 - 06:55
$v_2(n!)=[\frac{n}{2}]+...+[\frac{n}{2^x}]<n$
$v_2(n!)=[\frac{n}{2}]+...+[\frac{n}{2^x}], có công thức này hả bạn
#7
Đã gửi 18-04-2016 - 10:40
- Lareadx yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#8
Đã gửi 18-04-2016 - 11:07
Đây là hai gợi ý:
i) $\left\lfloor a \right\rfloor + \left\lfloor b \right\rfloor \le \left\lfloor a + b\right\rfloor$
ii) $\sum_{i = 1}^{\infty}\frac{1}{2^{i}} < 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 18-04-2016 - 11:11
#9
Đã gửi 18-04-2016 - 16:13
Ta chỉ xét $n \ge 1$ nên $s_{2}(n) \ge 1$ hay $v_{2}(n) \le n - 1 < n$. Xong.
- hoctrocuaZel yêu thích
#10
Đã gửi 18-04-2016 - 21:05
Có đẳng thức đó thì sao mệnh đề đó đúng được nhỉ?
Tại mình làm tắt bước cuối sorry
#11
Đã gửi 18-04-2016 - 21:40
n
n=0 thì sao bạn (chắc đề thiếu ĐK)
n=0 thì vẫn đúng mà
#12
Đã gửi 18-04-2016 - 21:41
ngoài quy nạp còn cách nào khác không
#13
Đã gửi 19-04-2016 - 13:07
Bài này không khó đâu, bạn thử chứng minh đi.
Đây là hai gợi ý:
i) $\left\lfloor a \right\rfloor + \left\lfloor b \right\rfloor \le \left\lfloor a + b\right\rfloor$
ii) $\sum_{i = 1}^{\infty}\frac{1}{2^{i}} < 1$
Đặt v2(n!)=a, theo công thức Legendre: v2(n!)=$\left [ n/2 \right ]+...+\left [n/2^{x} \right ]$ (1)
Theo i thì (1)= a = $\leq$ $\left [ n/2+...+n/2^{x} \right ]$ $\leq$ n/2+...+n/$2^{x}$ = $n(\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{^{x}}})$ < n (theo ii)
Vì số mũ lớn nhất của 2 trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n! < n $\Rightarrow$ đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lareadx: 19-04-2016 - 13:10
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh