12 replies to this topic

[Lareadx]

Chứng minh rằng n! không chia hết cho 2ⁿ

[superherokhang]

Với n=1, dễ dàng thấy 1! không chia hết cho $2^{n}$

Giả sử $n=k$ thì $k!$ không chia hết cho $2^{k}$

Khi đó ta cần chứng minh $\left ( k+1 \right )!$ không chia hết cho $2^{\left ( k+1 \right )}$

$\left ( k+1 \right )!=k!.\left ( k+1 \right )$

Dễ dàng chứng minh được đẳng thức trên, do đó mệnh đề cần chứng minh đúng với mọi n

Edited by superherokhang, 17-04-2016 - 09:52.

[Ego]

Với n=1, dễ dàng thấy 1! không chia hết cho $2^{n}$

Giả sử $n=k$ thì $k!$ không chia hết cho $2^{k}$

Khi đó ta cần chứng minh $\left ( k+1 \right )!$ không chia hết cho $2^{\left ( k+1 \right )}$

$\left ( k+1 \right )!=k!.\left ( k+1 \right )$

Dễ dàng chứng minh được đẳng thức trên, do đó mệnh đề cần chứng minh đúng với mọi n

Có đẳng thức đó thì sao mệnh đề đó đúng được nhỉ?

[hoctrocuaZel]

Chứng minh rằng n! không chia hết cho 2ⁿ

$v_2(n!)=[\frac{n}{2}]+...+[\frac{n}{2^x}]<n$

[kieutuanduc]

Với n=1, dễ dàng thấy 1! không chia hết cho $2^{n}$

Giả sử $n=k$ thì $k!$ không chia hết cho $2^{k}$

Khi đó ta cần chứng minh $\left ( k+1 \right )!$ không chia hết cho $2^{\left ( k+1 \right )}$

$\left ( k+1 \right )!=k!.\left ( k+1 \right )$

Dễ dàng chứng minh được đẳng thức trên, do đó mệnh đề cần chứng minh đúng với mọi n

n=0 thì sao bạn (chắc đề thiếu ĐK)

[Lareadx]

$v_2(n!)=[\frac{n}{2}]+...+[\frac{n}{2^x}]<n$

$v_2(n!)=[\frac{n}{2}]+...+[\frac{n}{2^x}], có công thức này hả bạn

[Zaraki]

$v_2(n!)=[\frac{n}{2}]+...+[\frac{n}{2^x}], có công thức này hả bạn

Cái này là công thức Legendre.

[Ego]

Bài này không khó đâu, bạn thử chứng minh đi.
Đây là hai gợi ý:
i) $\left\lfloor a \right\rfloor + \left\lfloor b \right\rfloor \le \left\lfloor a + b\right\rfloor$
ii) $\sum_{i = 1}^{\infty}\frac{1}{2^{i}} < 1$

Edited by Ego, 18-04-2016 - 11:11.

[Ego]

Một cách làm khác, theo công thức Legendre thì $v_{2}(n) = n - s_{2}(n)$ với $s_{2}(n)$ là tổng các chữ số của $n$ trong hệ nhị phân.
Ta chỉ xét $n \ge 1$ nên $s_{2}(n) \ge 1$ hay $v_{2}(n) \le n - 1 < n$. Xong.

[superherokhang]

Có đẳng thức đó thì sao mệnh đề đó đúng được nhỉ?

Tại mình làm tắt bước cuối sorry

[manhbbltvp]

n

 

n=0 thì sao bạn (chắc đề thiếu ĐK)

 n=0 thì vẫn đúng mà

[manhbbltvp]

ngoài quy nạp còn cách nào khác không

[Lareadx]

Bài này không khó đâu, bạn thử chứng minh đi.
Đây là hai gợi ý:
i) $\left\lfloor a \right\rfloor + \left\lfloor b \right\rfloor \le \left\lfloor a + b\right\rfloor$
ii) $\sum_{i = 1}^{\infty}\frac{1}{2^{i}} < 1$

Đặt v₂(n!)=a, theo công thức Legendre: v₂(n!)=$\left [ n/2 \right ]+...+\left [n/2^{x} \right ]$ (1)

Theo i thì (1)= a = $\leq$ $\left [ n/2+...+n/2^{x} \right ]$ $\leq$ n/2+...+n/$2^{x}$ = $n(\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{^{x}}})$ < n (theo ii)

Vì số mũ lớn nhất của 2 trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n! < n  $\Rightarrow$ đpcm

Edited by Lareadx, 19-04-2016 - 13:10.