Như vậy đã có lời giải bài toán cũ trong tuần 3 tháng 4 và kèm theo là bài toán mới:
Bài 35: Cho tam giác $ABC$ nhọn trực tâm $H$, nội tiếp đường tròn $(O). HB,HC$ lần lượt cắt một tiếp tuyến thay đổi của $(O)$ tại $E,F.K$ đối xứng với $H$ qua $EF$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $KEF$ luôn tiếp xúc một đường tròn cố định khi tiếp tuyến thay đổi.
Post 62.png
Hình vẽ bài toán
Em không có phần mềm hỗ trợ vẽ hình, mong thầy và các bạn thông cảm
- Lời giải
Gọi $J$ là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến $EF$ với $(O)$
$CH, BH$ lần lượt cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ 2 là $Q,P \Rightarrow Q,P$ thuộc đường tròn $(A, AH)$
$JQ, JP$ lần lượt cắt $(A,AH)$ tại điểm thứ 2 là $M,N$. Ta có
$\angle PMQ =\frac{1}{2}\angle PAQ =\frac{1}{2} (180^{0}-\angle PJQ) \Rightarrow \angle PMJ =\angle MPJ \Rightarrow JM=JP, JN=JQ \Rightarrow MN=PQ$
$EM$ cắt $(A, AH)$ tại điểm thứ 2 là $I, IN$ cắt $QH$ tại $F'.$
Áp dụng định lý $Pascal$ cho 6 điểm
$(I, P, Q$
$H, M, N) \Rightarrow E, J, F'$ thẳng hàng$\Rightarrow F' \equiv F$
Ta có
$\angle EIF=\angle MIN =\angle QIP =\frac{1}{2}\angle QAP =\angle BAC =180^{0}-\angle BHC= 180^{0}- \angle EKF$
$\Rightarrow I$ thuộc $(EKF)$
Mà $\angle MJE = \angle QPJ= \angle JMN$
$\Rightarrow MN // EF \Rightarrow (EKF)$ tiếp xúc $(A, AH)$ tại $I.\blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 18-04-2016 - 18:55