Chủ đề này có 1 trả lời

[tpdtthltvp]

Cho $x,y$ là các số nguyên dương sao cho: $A=\frac{x^2+y^2+6}{xy}$ là một số nguyên. Chứng minh rằng $A$ là số lập phương đúng.

 

Trong số các cặp $(x,y)$ với $x\geq y\geq 1$ và thỏa mãn:

$$A=\frac{x^2+y^2+6}{xy}$$.

Chọn cặp $(a,b)$ có $a+b$ nhỏ nhất. Chứng minh $b=1$. Từ đó có $A=8$

 

Ai có thể giải thích kĩ cho em lời giải trên không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 19-04-2016 - 13:08

[Ego]

Ừ đúng là tắt thiệt. Ý tưởng chính là Vieta Jumping. Kiểm tra các điều kiện $xy \le 6$ thì chỉ có hai nghiệm $x = y = 1$ hay $A = 8$ (khẳng định đúng). Xét $xy \ge 7$
Giả sử $x \ge y$:
Gọi $(x, y)$ là cặp nguyên dương sao cho $x + y$ nhỏ nhất của PT $x^{2} - Axy + y^{2} + 6 = 0$
Từ PT trên suy ra còn 1 nghiệm $t$ khác sao cho $\begin{cases} x + t = Ay \\ xt = y^{2} + 6\end{cases}$. Từ đây suy ra $(t, y)$ cũng là nghiệm.
Do $x + y$ có tính chất nhỏ nhất nên $t + y \ge x + y \iff t \ge x$
$\implies Ay = x + t \ge 2x \implies \frac{A}{2} \ge \frac{x}{y}$
Từ đó có đánh giá sau: $A = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{6}{xy} \le \frac{A}{2} + 1 + \frac{6}{7} \implies A \le 3$
Kiểm tra và đánh giá không có TH nào thoả. Xong.