Chủ đề này có 5 trả lời

[tpdtthltvp]

Bài toán 1: Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a^5+b^5+c^5=729$. Tìm GTNN của biểu thức:

$$Q=\frac{a^6}{bc}+\frac{b^6}{ca}+\frac{c^6}{ab}$$

 

Bài toán 2: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$$\frac{2(a^5+b^5+c^5+a^2+b^2+c^2)}{a^3+b^3+c^3}+\frac{9}{(a+b+c)^2}\geq 5$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-04-2016 - 13:01

[hieuhanghai]

Ta có : $a^{5}+243+243+243+243\geq 405a$

=> $\sum (a^{5}+ 243+243 + 243 +243)\geq 405\sum a =>a+b+c\leq 9$

Dễ dàng chứng minh được $abc\leq 27$

$\frac{a^{6}}{bc}+\frac{a^{4}}{\frac{a}{3}}\geq 2\frac{a^{5}}{\sqrt{\frac{abc}{3}}}$

$=>\sum (\frac{a^{6}}{bc}+ \frac{a^{4}}{\frac{a}{3}})\geq 486$

Ta đi C/m: $\sum \frac{a^{4}}{\frac{a}{3}}\leq 243 hay C/m: \sum a^{3}\leq 81$

Có: $(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\leq (a^{5}+b^{5}+c^{5})(a+b+c)\leq 6561 =>a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 81=>ĐPCM$

[lehakhiem212]

Bài 1

Từ giả thiết: $729=a^{5}+b^{5}+c^{5}\geq 3.\sqrt[3]{a^{5}b^{5}c^{5}}$

=>$abc\leq 27$

Mà Q=$\frac{a^{7}+b^{7}+c^{7}}{abc}$

Do đó cần cm $a^{7}+b^{7}+c^{7}\geq 6561$

Áp dụng bđt AM-GM:

$a^{7}+a^{7}+a^{7}+a^{7}+a^{7}+3^{7}+3^{7}\geq 7.\sqrt[7]{a^{35}.3^{7}.3^{7}}=63.a^{5}$

Xây dựng thêm hai bđt nữa cộng lại thu gọn ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehakhiem212: 19-04-2016 - 22:34

[royal1534]

Bài toán 1: Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a^5+b^5+c^5=729$. Tìm GTNN của biểu thức:

$$Q=\frac{a^6}{bc}+\frac{b^6}{ca}+\frac{c^6}{ab}$$

 

 

Thực sự bài toán áp dụng một bổ đề sau:

Với $a,b,c$ dương. Ta có: $\frac{a^6}{bc}+\frac{b^6}{ca}+\frac{c^6}{ab} \geq \frac{3(a^5+b^5+c^5)}{a+b+c}$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:

$(\frac{a^6}{bc}+\frac{b^6}{ca}+\frac{c^6}{ab})^2(a^3b^2c^2+b^3c^2a^2+c^3a^2b^2) \geq (a^5+b^5+c^5)^3$

$\Rightarrow (\frac{a^6}{bc}+\frac{b^6}{ca}+\frac{c^6}{ab})^2 \geq \frac{(a^5+b^5+c^5)^3}{a^2b^2c^2(a+b+c)}$

Ta quy bổ đề về chứng minh $a^5+b^5+c^5 \geq \frac{9a^2b^2c^2}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow (a^5+b^5+c^5)(a+b+c) \geq 9a^2b^2c^2$

BĐT trên đúng  theo AM-GM vì $(a^5+b^5+c^5)(a+b+c) \geq 3\sqrt[3]{a^5b^5c^5}.3\sqrt[3]{abc}=9a^2b^2c^2$

Bổ đề được chứng minh.Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c$

--------------------------

Trở lại bài toán. Sử dụng BĐT AM-GM ta có

$a^5+243+243+243+243 \geq 405a$

Thiết lập các đánh giá tương tự ta có

$(a+b+c) \leq \frac{a^5+b^5+c^5+12.243}{405}=9$

Áp dụng bổ đề trên ta có:

$VT=\sum \frac{a^6}{bc} \geq \frac{3(a^5+b^5+c^5)}{a+b+c} \geq \frac{3.729}{9}=243$

Bài toán được chứng minh. Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 19-04-2016 - 22:39

[lehakhiem212]

Bài 3:

Áp dụng AM-GM

$a^{2}+a^{2}+a^{5}\geq 3.\sqrt[3]{a^{9}}=3.a^{3}$

Xây dựng thêm hai cái cộng vào.

$\frac{2(a^{5}+b^{5}+c^{5}+a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq \frac{3.(a^{3}+b^{3}+c^{3})+a^{5}+b^{5}+c^{5}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}=3+\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$

Mặt khác ta luôn có bđt sau với a,b,c>0,$3.(a^{5}+b^{5}+c^{5})\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})(a^{2}+b^{2}+c^{2})$(có thể chứng minh bằng tương đương)

=>$\frac{2(a^{5}+b^{5}+c^{5}+a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}$+3

Đối chiếu với điều cần chứng minh, ta cần chứng minh

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}+\frac{9}{(a+b+c)^{2}}\geq 2$

Ta có:

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}+\frac{9}{(a+b+c)^{2}}=\frac{3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{9}+\frac{9}{(a+b+c)^{2}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{9}+\frac{9}{(a+b+c)^{2}}\geq 2$

=>đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehakhiem212: 19-04-2016 - 23:15

[royal1534]

 

 

Bài toán 3: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$$\frac{2(a^5+b^5+c^5+a^2+b^2+c^2)}{a^3+b^3+c^3}+\frac{9}{(a+b+c)^2}\geq 5$$

Sử dụng bđt AM-GM ta có:

 

$a^5+a^2+a^2 \geq 3\sqrt[3]{a^9}=3a^3$

 

Thiết lập các bđt tương tự $\Rightarrow a^5+b^5+c^5+2(a^2+b^2+c^2) \geq 3(a^3+b^3+c^3)$

 

                                       $\Rightarrow \frac{2(a^5+b^5+c^5+a^2+b^2+c^2)}{a^3+b^3+c^3} \geq \frac{a^5+b^5+c^5}{a^3+b^3+c^3}+3$

Tức là ta quy bài toán về chứng minh:

 

$\frac{a^5+b^5+c^5}{a^3+b^3+c^3}+\frac{9}{(a+b+c)^2} \geq 2 $ (1)

 

Ta dự đoán nếu có $\frac{a^5+b^5+c^5}{a^3+b^3+c^3} \geq \frac{(a+b+c)^2}{9}$ rồi tiếp tục áp dụng AM-GM thì bài toán được chứng minh

 

BĐT trên $\Leftrightarrow 9(a^5+b^5+c^5) \geq (a+b+c)^2(a^3+b^3+c^3)$

 

Vì $(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)$ nên ta chỉ cần chứng minh $3(a^5+b^5+c^5) \geq (a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)$

 

$\Leftrightarrow 2(a^5+b^5+c^5) \geq a^2b^2(a+b)+b^2c^2(b+c)+c^2a^2(a+c)$

 

Ta có BĐT quen thuộc $a^5+b^5 \geq a^2b^2(a+b)$ (Dễ chứng minh bằng biến đổi tương đương)

 

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có đpcm

 

Trở lại bài toán ta có:

 

$ \frac{a^5+b^5+c^5}{a^3+b^3+c^3}+\frac{9}{(a+b+c)^2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{9}+\frac{9}{(a+b+c)^2} \geq 2$ 

(1) được chứng minh $\rightarrow$ ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$