Chủ đề này có 3 trả lời

[manhbbltvp]

cho a,b,c là các số thực dương .Chưng minh bất đẳng thức

 $\frac{a+b}{bc+a^{2}}+\frac{b+c}{ac+b^{2}}+\frac{c+a}{ab+c^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

[tpdtthltvp]

cho a,b,c là các số thực dương .Chưng minh bất đẳng thức

 $\frac{a+b}{bc+a^{2}}+\frac{b+c}{ac+b^{2}}+\frac{c+a}{ab+c^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Ta có:

$$\frac{a+b}{bc+a^{2}}+\frac{b+c}{ac+b^{2}}+\frac{c+a}{ab+c^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$

$$\Leftrightarrow (\frac{a+b}{bc+a^2}-\frac{1}{a})+(\frac{b+c}{ac+b^2}-\frac{1}{b})+(\frac{c+a}{ab+c^2}-\frac{1}{c})\leq 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{b(a-c)}{a^3+abc}+\frac{c(b-a)}{b^3+abc}+\frac{a(c-b)}{c^3+abc}\leq 0(1)$$

Giả sử $a\geq b\geq c$ thì $$\left\{\begin{matrix} b(a-c)\geq 0 \\ c(b-a)\leq 0 \\ a(c-b)\leq 0 \end{matrix}\right.$$

Và $$a^3+abc\geq b^3+abc\Rightarrow \frac{b(a-c)}{a^3+abc}\leq \frac{b(a-c)}{b^3+abc}$$

Do đó:

$$\frac{b(a-c)}{a^3+abc}+\frac{c(b-a)}{b^3+abc}+\frac{a(c-b)}{c^3+abc}\leq \frac{b(a-c)+c(b-a)}{b^3+abc}+\frac{a(c-b)}{c^3+abc}=\frac{a(b-c)}{b^3+abc}-\frac{a(b-c)}{c^3+abc}\leq \frac{a(b-c)}{c^3+abc}-\frac{a(b-c)}{c^3+abc}=0(2)$$

Từ $(1),(2)$ ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 24-04-2016 - 13:14

[PlanBbyFESN]

Giả sử $a\geq b\geq c$

 

Với BĐT này thì giả sử như thế này là không được em ạ!

 

Nếu vẫn làm thì phải xét thêm $c\geq b\geq a$ nhưng không đảm bảo đúng!

------------------------------------------------------------------------

Hơn nữa, bài BĐT này biến bình đẳng mà cách xếp rất lạ:

 

Nếu anh không nhầm, đề bài phải như thế này: (Lời giải rất đẹp)

 

[***] Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Ta sẽ có BĐT sau:

 

$\frac{a+b}{ab+c^{2}}+\frac{b+c}{bc+a^{2}}+\frac{c+a}{ca+b^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 24-04-2016 - 16:24

[manhbbltvp]

Với BĐT này thì giả sử như thế này là không được em ạ!

 

Nếu vẫn làm thì phải xét thêm $c\geq b\geq a$ nhưng không đảm bảo đúng!

------------------------------------------------------------------------

Hơn nữa, bài BĐT này biến bình đẳng mà cách xếp rất lạ:

 

Nếu anh không nhầm, đề bài phải như thế này: (Lời giải rất đẹp)

 

[***] Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Ta sẽ có BĐT sau:

 

$\frac{a+b}{ab+c^{2}}+\frac{b+c}{bc+a^{2}}+\frac{c+a}{ca+b^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

nhưng đề  em đăng đúng mà anh