Chủ đề này có 2 trả lời

[ngothithuynhan100620]

Tìm tất cả các số nguyên tố a,b,c thõa mãn: $a^{b}+b^{a}=c$

[githenhi512]

Tìm tất cả các số nguyên tố a,b,c thõa mãn: $a^{b}+b^{a}=c$

$a,b\geq 2\Rightarrow c>2\Rightarrow c lẻ$ $\Rightarrow a, b k cùng tính chẵn lẻ$

Do vai trò của a,b là như nhau. K mất tính tổng quat gs b chẵn $\Rightarrow b=2\Rightarrow a^{2}+2^{a}=c$

N a=3 $\Rightarrow c=17(t/m)$

N $a\neq 3\Rightarrow a^{2}=3k+1(k\in \mathbb{N}, \neq 0)$

Mà $2^{a}=(3-1)^{a}=3n-1(a lẻ)$$(n\in \mathbb{N},\neq 0)$

$\Rightarrow c=3(k+n)(l)$

Vậy (a,b,c)=(2;3;17);(3;2;17)

[Baoriven]

Dễ thấy c lẻ nên tồn tại 1 trong 2 số a,b bằng 2.

Không mất tổng quát giả sử a=2.

Từ đó ta có: b²+2^b=c.

Xét: b=3 thỏa.

Với b khác 3 và b nguyên tố, ta có:

$2^{b}\equiv 2(mod3)$

$b^{2}\equiv1(mod3)$

Nên suy ra c chia hết cho 3 vô lý vì c lớn hơn 3 và c là số nguyên tố. 

Do đó được 2 bộ {2;3;17} và {3;2;17}