Tìm tất cả các số nguyên tố a,b,c thõa mãn: $a^{b}+b^{a}=c$
Tìm tất cả các số nguyên tố a,b,c thõa mãn: $a^{b}+b^{a}=c$
#1
Posted 24-04-2016 - 15:46
Lấy bất biến ứng vạn biến
#2
Posted 24-04-2016 - 21:40
Tìm tất cả các số nguyên tố a,b,c thõa mãn: $a^{b}+b^{a}=c$
$a,b\geq 2\Rightarrow c>2\Rightarrow c lẻ$ $\Rightarrow a, b k cùng tính chẵn lẻ$
Do vai trò của a,b là như nhau. K mất tính tổng quat gs b chẵn $\Rightarrow b=2\Rightarrow a^{2}+2^{a}=c$
N a=3 $\Rightarrow c=17(t/m)$
N $a\neq 3\Rightarrow a^{2}=3k+1(k\in \mathbb{N}, \neq 0)$
Mà $2^{a}=(3-1)^{a}=3n-1(a lẻ)$$(n\in \mathbb{N},\neq 0)$
$\Rightarrow c=3(k+n)(l)$
Vậy (a,b,c)=(2;3;17);(3;2;17)
- ngothithuynhan100620 likes this
'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.
Albert Einstein
#3
Posted 24-04-2016 - 21:59
Dễ thấy c lẻ nên tồn tại 1 trong 2 số a,b bằng 2.
Không mất tổng quát giả sử a=2.
Từ đó ta có: b2+2b=c.
Xét: b=3 thỏa.
Với b khác 3 và b nguyên tố, ta có:
$2^{b}\equiv 2(mod3)$
$b^{2}\equiv1(mod3)$
Nên suy ra c chia hết cho 3 vô lý vì c lớn hơn 3 và c là số nguyên tố.
Do đó được 2 bộ {2;3;17} và {3;2;17}
- Ngoc Hung likes this
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users