Chủ đề này có 1 trả lời

[ngothithuynhan100620]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: xy+yz+zx=1. Chứng minh rằng:

 $\frac{1}{1+xy+z^2}+\frac{1}{1+yz+x^2}+\frac{1}{1+zx+y^2}\le \frac{9}{5}$

[KietLW9]

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$

Ta cần chứng minh: $\sum_{cyc}^{}\frac{2c^3}{2c^2+ab+bc+ca}+\frac{9(ab+bc+ca)}{5(a+b+c)}\geqslant a+b+c$

Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta được: $\sum_{cyc}^{}\frac{2c^3}{2c^2+ab+bc+ca}\geqslant \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{6abc+(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-ab-bc-ca)}\geqslant \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{\frac{2(ab+bc+ca)^2}{a+b+c}+(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-ab-bc-ca)}=\frac{2(a^2+b^2+c^2)^2(a+b+c)}{2(ab+bc+ca)^2+(a+b+c)^2(2a^2+2b^2+2c^2-ab-bc-ca)}=\frac{2(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{2(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)}$

Cần chứng minh: $\frac{2(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{2(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)}+\frac{9(ab+bc+ca)}{5(a+b+c)}\geqslant a+b+c$

$\Leftrightarrow \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)}+\frac{9(ab+bc+ca)}{5\left [ a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \right ]}\geqslant 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(ab+bc+ca)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geqslant 0$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 17-12-2021 - 08:27