Cho $a,b,c,d\geq 0$ thoả mãn $a+b+c+d=4$. CMR:
$\frac{ab}{c+d+4}+\frac{bc}{d+a+4}+\frac{cd}{a+b+4}+\frac{da}{b+c+4}+\frac{\sqrt{abcd}}{3}\leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 29-04-2016 - 22:14
Cho $a,b,c,d\geq 0$ thoả mãn $a+b+c+d=4$. CMR:
$\frac{ab}{c+d+4}+\frac{bc}{d+a+4}+\frac{cd}{a+b+4}+\frac{da}{b+c+4}+\frac{\sqrt{abcd}}{3}\leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 29-04-2016 - 22:14
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
Cho $a,b,c,d\geq 0$ thoả mãn $a+b+c+d=4$. CMR:
$\frac{ab}{c+d+4}+\frac{bc}{d+a+4}+\frac{cd}{a+b+4}+\frac{da}{b+c+4}+\frac{\sqrt{abcd}}{3}\leq 1$
Giải như sau:
Thay $4=a+b+c+d$ và áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz ta có:
$\sum \frac{ab}{c+d+4}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{ab}{c+d+a}+\frac{ab}{c+d+b}+\frac{bc}{a+d+b}+\frac{bc}{a+d+c}+\frac{cd}{a+b+c}+\frac{cd}{a+b+d}+\frac{da}{b+c+d}+\frac{da}{b+c+a} \right )$
Đặt biểu thức vế phải trên là $A$
$A=\frac{1}{4}(a+b+c+d)-\frac{1}{4}\left ( \frac{bd}{a+d+c}+\frac{bd}{a+b+c}+\frac{ac}{b+c+d}+\frac{ac}{a+b+d} \right )\leq 1-\left ( \frac{bd}{a+c+4}+\frac{ac}{b+d+4} \right )$
$\leq 1-2\sqrt{\frac{abcd}{(b+d+4)(a+c+4)}}\leq 1-2\sqrt{\frac{abcd}{\left ( \frac{a+b+c+d+8}{2} \right )^2}}=1-\frac{\sqrt{abcd}}{3}$
$\Rightarrow\frac{ab}{c+d+4}+\frac{bc}{a+d+4}+\frac{cd}{a+b+4}+\frac{da}{b+c+4}+\frac{\sqrt{abcd}}{3}\leq 1$ ( đpcm )
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=d=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 30-04-2016 - 14:59
Giải như sau:
Thay $4=a+b+c+d$ và áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz ta có:
$\sum \frac{ab}{c+d+4}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{ab}{c+d+a}+\frac{ab}{c+d+b}+\frac{bc}{a+d+b}+\frac{bc}{a+d+c}+\frac{cd}{a+b+c}+\frac{cd}{a+b+d}+\frac{da}{b+c+d}+\frac{da}{b+c+a} \right )$
Đặt biểu thức vế phải trên là $A$
$A=\frac{1}{4}(a+b+c+d)-\frac{1}{4}\left ( \frac{bd}{a+d+c}+\frac{bd}{a+b+c}+\frac{ac}{b+c+d}+\frac{ac}{a+b+d} \right )\leq 1-\left ( \frac{bd}{a+c+4}+\frac{ac}{b+d+4} \right )$
$\leq 1-2\sqrt{\frac{abcd}{(b+d+4)(a+c+4)}}\leq 1-2\sqrt{\frac{abcd}{\left ( \frac{a+b+c+d+8}{2} \right )^2}}=1-\frac{\sqrt{abcd}}{3}$
$\Rightarrow\frac{ab}{c+d+4}+\frac{bc}{a+d+4}+\frac{cd}{a+b+4}+\frac{da}{b+c+4}+\frac{\sqrt{abcd}}{3}\leq 1$ ( đpcm )
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=d=1$
Cách làm này của bạn mới chỉ thoả mãn được một TH dấu = xảy ra, dấu = còn xảy ra$\Leftrightarrow a=b=2, c=d=0$ và các hoán vị
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
Cách làm này của bạn mới chỉ thoả mãn được một TH dấu = xảy ra, dấu = còn xảy ra$\Leftrightarrow a=b=2, c=d=0$ và các hoán vị
Thầy mình bảo với BĐT thì chỉ cần tìm CM là đủ. Phần cuối có thể nêu 1 (hoặc tất cả) các TH xảy ra dấu $=$. Vì thế ở cuối bài, mình không dùng dấu $\Leftrightarrow$
Đây chính là điểm khác giữa BĐT và Cực trị.
Thầy mình bảo với BĐT thì chỉ cần tìm CM là đủ. Phần cuối có thể nêu 1 (hoặc tất cả) các TH xảy ra dấu $=$. Vì thế ở cuối bài, mình không dùng dấu $\Leftrightarrow$
Đây chính là điểm khác giữa BĐT và Cực trị.
Nhưng mình vẫn cảm thấy chưa ổn lắm bởi nếu đề bài cho tìm max thì ta sẽ làm thế nào? Mình vẫn muốn nêu ra một cách làm tổng quát cho bài toán này
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 01-05-2016 - 20:29
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
Nhưng mình vẫn cảm thấy chưa ổn lắm bởi nếu đề bài cho tìm max thì ta sẽ làm thế nào? Mình vẫn muốn nêu ra một cách làm tổng quát cho bài toán này
Haha, vừa kiểm tra lại bài làm, chợt nhớ ra những chỗ đánh giá $\geq$ và $\leq$ dấu $=$ cũng bao hàm luôn TH $a=b=2,c=d=0$ rồi đó!
Giải như sau:
Thay $4=a+b+c+d$ và áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz ta có:
$\sum \frac{ab}{c+d+4}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{ab}{c+d+a}+\frac{ab}{c+d+b}+\frac{bc}{a+d+b}+\frac{bc}{a+d+c}+\frac{cd}{a+b+c}+\frac{cd}{a+b+d}+\frac{da}{b+c+d}+\frac{da}{b+c+a} \right )$
Đặt biểu thức vế phải trên là $A$
$A=\frac{1}{4}(a+b+c+d)-\frac{1}{4}\left ( \frac{bd}{a+d+c}+\frac{bd}{a+b+c}+\frac{ac}{b+c+d}+\frac{ac}{a+b+d} \right )\leq 1-\left ( \frac{bd}{a+c+4}+\frac{ac}{b+d+4} \right )$
$\leq 1-2\sqrt{\frac{abcd}{(b+d+4)(a+c+4)}}\leq 1-2\sqrt{\frac{abcd}{\left ( \frac{a+b+c+d+8}{2} \right )^2}}=1-\frac{\sqrt{abcd}}{3}$
$\Rightarrow\frac{ab}{c+d+4}+\frac{bc}{a+d+4}+\frac{cd}{a+b+4}+\frac{da}{b+c+4}+\frac{\sqrt{abcd}}{3}\leq 1$ ( đpcm )
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=d=1$
Mình có ý kiến thế này:
Chỗ màu đỏ dấu = xảy ra là b=d và a=c
Chỗ màu xanh thì dấu = xảy ra là b+d=a+c
Vậy rốt cuộc dấu = xảy ra vẫn là a=b=c=d=1 đó thôi
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
Mình có ý kiến thế này:
Chỗ màu đỏ dấu = xảy ra là b=d và a=c
Chỗ màu xanh thì dấu = xảy ra là b+d=a+c
Vậy rốt cuộc dấu = xảy ra vẫn là a=b=c=d=1 đó thôi
Theo em nghĩ tử đã bằng 0 thì đánh giá mẫu thức như thế nào không quan trọng đâu! Vẫn đảm bảo dấu bằng
Ví dụ như: $\frac{a}{2ab+c}\geq \frac{a}{a^{2}+b^{2}+c}$ Thì $a=b$ nhưng nếu $a=0$ thì có $a=b$ hay không không quan trọng
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh