Chủ đề này có 4 trả lời

[SKT T1 SPAK]

cho a,b,c là các số thực thoả mãn: $\sum a^{2}\leq 8$ . Tìm min,max của :

                           S=$ab+bc+2ca$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SKT T1 SPAK: 01-05-2016 - 19:11

[thuylinhnguyenthptthanhha]

Bài tương tự :

http://toan.hoctainh.../bdt-kho-nek-mn

[iloveyouproht]

$BDT <=> \frac{a}{a^{2}+1} + \frac{9(a^{2}+1)}{4a} + \frac{a^{2}+1}{4a}\geq \frac{11}{2} áp  dụng  bđt  thức  cauchy  t a có : \frac{a^{2}+1}{4a} + \frac{a}{a^{2}+1} \geq \frac{1}{2} mà \frac{9(a^{2}+1)}{4a} = \frac{9}{4} (a+\frac{1}{a}) \geq \frac{9}{2} ( do cauchy  a + \frac{1}{a} ) Cộng lại ta được bđt cần c/m$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 20-05-2016 - 00:37

[thuylinhnguyenthptthanhha]

$BDT <=> \frac{a}{a^{2}+1} + \frac{9(a^{2}+1)}{4a} + \frac{a^{2}+1}{4a}\geq \frac{11}{2} áp  dụng  bđt  thức  cauchy  t a có : \frac{a^{2}+1}{4a} + \frac{a}{a^{2}+1} \geq \frac{1}{2} mà \frac{9(a^{2}+1)}{4a} = \frac{9}{4} (a+\frac{1}{a}) \geq \frac{9}{2} ( do cauchy  a + \frac{1}{a} ) Cộng lại ta được bđt cần c/m$

hình như bạn nhầm bài r!

[Nguyenngoctu]

Let a,b,c be real numbers such that $${a^2} + {b^2} + {c^2} \le 8$$. Find min and max of $$S = ab + bc + 2ca$$.

Solution.

* Ta có $$0 \le {\left( {a + b + c} \right)^2} = \sum {{a^2}} + 2\sum {ab} \le 8 + 2\sum {ab} \Rightarrow \sum {ab} \ge - 4$$ dấu bằng xảy ra khi a+b+c=0 và $${a^2} + {b^2} + {c^2} \le 8$$.

$${a^2} + {c^2} \ge - 2ac \Rightarrow ac \ge - \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} = - \frac{{8 - {b^2}}}{2} = - 4 + \frac{{{b^2}}}{2} \ge - 4$$ dấu bằng xảy ra khi b=0, a=-c.

Do đó $$S = ab + bc + 2ca \ge - 8$$ dấu bằng xảy ra khi $$\left\{ \begin{array}{l} b = 0\\ \,\,a = - c\\ {a^2} + {b^2} + {c^2} \le 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 0\\ \,\,a = - c\\ - 4 \le a,c \le 4 \end{array} \right.$$.

Vậy MinS=-8 khi $$\left\{ \begin{array}{l} b = 0\\ \,\,a = - c\\ - 4 \le a,c \le 4 \end{array} \right.$$.

* Ta có $$0 \le {\left( {a - b + c} \right)^2} = \sum {{a^2}} - 2ab - 2bc + 2ca \le 8 - 2\sum {ab} + 4ca \Rightarrow \sum {ab} \le 4 + 2ca$$ dấu bằng xảy ra khi a-b+c=0 và $${a^2} + {b^2} + {c^2} \le 8$$.

$$2ca \le {a^2} + {c^2} \le 8 - {b^2} \le 8 \Rightarrow ca \le 4$$ dấu bằng xảy ra khi b=0 và a=c.

Do đó $$S = ab + bc + 2ca = \sum {ab} + ca \le 4 + 2.4 = 12$$ dấu bằng xảy ra khi $$\left\{ \begin{array}{l} b = 0\\ \,\,a = c\\ {a^2} + {b^2} + {c^2} \le 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 0\\ \,\,a = c\\ - 4 \le a,c \le 4 \end{array} \right.$$.

Vậy MaxS=12 khi $$\left\{ \begin{array}{l} b = 0\\ \,\,a = c\\ - 4 \le a,c \le 4 \end{array} \right.$$.