Chủ đề này có 4 trả lời

[dreamcatcher170201]

Cho $a;b;c$ dương.Chứng minh rằng $8(a+b+c)^{3}\geq 27(a+b)(b+c)(c+a)$

[NTA1907]

Cho $a;b;c$ dương.Chứng minh rằng $8(a+b+c)^{3}\geq 27(a+b)(b+c)(c+a)$

Bài này áp dụng AM-GM thôi!

$(a+b)(b+c)(c+a)\leq \left [ \frac{2(a+b+c)}{3} \right ]^{3}$

$\Rightarrow$ đpcm

[khanh2101]

Sử dụng hằng đẳng thức này nhé:$(a+b+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)$

Ta cần chứng minh $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 3(a+b)(b+c)(c+a)$

Thật vậy

$3(a^{3}+b^{3})=3(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\geq 3ab(a+b)$

$3(b^{3}+c^{3})\geq 3bc(b+c)$

$3(c^{3}+a^{3})\geq 3ca(c+a)$

$2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 6abc$

$\Rightarrow 8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 3(a+b)(b+c)(c+a)$

[githenhi512]

Cho $a;b;c$ dương.Chứng minh rằng $8(a+b+c)^{3}\geq 27(a+b)(b+c)(c+a)$

Tc: $(a+b+c)^{3}-(\sum a^{3})=(a+b)(b+c)(c+a)$

$\Rightarrow VT=8\sum a^{3}+24(a+b)(b+c)(c+a)$

Cần CM: $8\sum a^{3}\geq 3(a+b)(b+c)(c+a)$

Có: VT=$\sum 3(a^{3}+b^{3})+2\sum a^{3}\geq \sum 3ab(a+b)+6abc=VT$(đpcm)

Dấu ''='' xr $\Leftrightarrow a=b=c>0$

[khanh2101]

Cách hay hơn ạ: 

$(a+b)+(b+c)+(c+a)\geq 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$\Rightarrow 8(a+b+c)^{3}\geq 27(a+b)(b+c)(c+a)$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$