Cho 3 số dương x,y,z, thỏa x+y+z=3. Tìm Min của A=$\frac{x^2}{x+y^2}+\frac{y^2}{y+z^2}+\frac{z^2}{z+x^2}$
Tìm Min của A=$\frac{x^2}{x+y^2}+\frac{y^2}{y+z^2}+\frac{z^2}{z+x^2}$
Bắt đầu bởi happypolla, 08-05-2016 - 10:59
#2
Đã gửi 08-05-2016 - 11:08
NTA1907
-
- Thành viên
-
- 1014 Bài viết
Thượng úy
Cho 3 số dương x,y,z, thỏa x+y+z=3. Tìm Min của A=$\frac{x^2}{x+y^2}+\frac{y^2}{y+z^2}+\frac{z^2}{z+x^2}$
Áp dụng AM-GM ta có:
$x-\frac{x^{2}}{x+y^{2}}=\frac{xy^{2}}{x+y^{2}}\leq \frac{xy^{2}}{2y\sqrt{x}}=\frac{y\sqrt{x}}{2}$
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự ta có:
$\sum \frac{x^{2}}{x+y^{2}}\geq x+y+z-\frac{1}{2}(y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z})\geq 3-\frac{1}{2}\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+zx)}\geq 3-\frac{1}{2}.\sqrt{3.\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}=\frac{3}{2}$
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=1$
- Ngoc Hung, O0NgocDuy0O, dogamer01 và 2 người khác yêu thích
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#3
Đã gửi 08-05-2016 - 11:13
O0NgocDuy0O
-
- Thành viên
-
- 760 Bài viết
Trung úy
Cho 3 số dương x,y,z, thỏa x+y+z=3. Tìm Min của A=$\frac{x^2}{x+y^2}+\frac{y^2}{y+z^2}+\frac{z^2}{z+x^2}$
$AM-GM$ ngược dấu 
$\frac{x^{2}}{x+y^{2}}=x-\frac{xy^{2}}{x+y^{2}}\geq x-\frac{\sqrt{x}y}{2}\Rightarrow A\geq 3-\frac{1}{2}(\sqrt{x}y+\sqrt{y}z+\sqrt{z}x)\geq 3-\frac{1}{2}.\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+zx)}\geq 3-\frac{1}{2}\sqrt{3.\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}=\frac{3}{2}.$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.
(
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 08-05-2016 - 11:15
- PlanBbyFESN, happypolla, kunsomeone và 1 người khác yêu thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#4
Đã gửi 08-05-2016 - 11:35
happypolla
-
- Thành viên
-
- 187 Bài viết
Trung sĩ
$AM-GM$ ngược dấu
$\frac{x^{2}}{x+y^{2}}=x-\frac{xy^{2}}{x+y^{2}}\geq x-\frac{\sqrt{x}y}{2}\Rightarrow A\geq 3-\frac{1}{2}(\sqrt{x}y+\sqrt{y}z+\sqrt{z}x)\geq 3-\frac{1}{2}.\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+zx)}\geq 3-\frac{1}{2}\sqrt{3.\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}=\frac{3}{2}.$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.
bạn có thể chỉ mình làm sao nghĩ ra cách tách $\frac{x^{2}}{x+y^{2}}=x-\frac{xy^{2}}{x+y^{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi happypolla: 08-05-2016 - 11:37
#5
Đã gửi 08-05-2016 - 11:39
O0NgocDuy0O
-
- Thành viên
-
- 760 Bài viết
Trung úy
bạn có thể chỉ mình làm sao nghĩ ra cách tách $\frac{x^{2}}{x+y^{2}}=x-\frac{xy^{2}}{x+y^{2}}$
Bạn xem thêm ở đây: http://diendantoanho...uchy-ngược-dấu/
- hoctrocuaHolmes, kunsomeone và goopd thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
