Chủ đề này có 1 trả lời

[Senju Hashirama]

Bảy đa giác đều có diện tích là $1$ nằm trong hình vuông có độ dài cạnh là $2$ . Chứng minh rằng có ít nhất 2 đa giác cắt nhau với diện tích phần chung không nhỏ hơn $\frac{1}{7}$

[JUV]

Giả sử không có 2 đa giác nào có phần chung không nhỏ hơn $\frac{1}{7}$, ta sẽ thực hiện việc " thêm hình " vào trong hình vuông: Gọi $S_n$ là diện tích của phần hợp của các đa giác được thêm vào sau lần thêm thứ $n$. Có tổng cộng 7 lần thêm hình:

-Lần đầu tiên ta thêm 1 đa giác vào hình vuông, có $S_1=1$

-Lần thứ 2, ta sẽ thêm tiếp 1 đa giác vào hình vuông, có $S_2$ là diện tích của hợp 2 đa giác được thêm vào trong 2 lần đầu. Vì diện tích của giao 2 hình nhỏ hơn $\frac{1}{7}$ nên diện tích của hợp 2 hình: $S_2> S_1+(1-\frac{1}{7})$

Ở lần thứ n, ta thêm 1 đa giác. Đa giác đó giao với $n-1$ đa giác đã thêm vào từ $n-1$ lần trước, với mỗi đa giác từ $n-1$ đa giác đó, diện tích của giao của đa giác mới được thêm với mỗi đa giác đó bé hơn $\frac{1}{7}$ nên diện tích của phần hình đa giác mới được thêm mà không giao với bất kì đa giác nào trước đó đã được thêm vào có diện tích lớn hơn là $1 - \frac{n-1}{7}$, vậy $S_n> S_{n-1}+(1-\frac{n-1}{7})$. 

Có diện tích của hình vuông là 4 nên $$4\geq S_7> S_6+ \frac{1}{7}> S_5+\frac{1}{7}+\frac{2}{7}> ...> S_1+\sum_{i=1}^{6}\frac{i}{7}\doteq \sum_{i=1}^{7}\frac{i}{7}=\frac{28}{7}= 4$$ (vô lí)

Vậy giả sử sai, suy ra dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 24-05-2016 - 23:49