Chủ đề này có 1 trả lời

[dreamcatcher170201]

Cho $a;b;c$ dương thỏa mãn $abc=1$.Tìm $Max$ $M=\frac{a}{b^{2}+c^{2}+a}+\frac{b}{a^2+c^2+b}+\frac{c}{a^2+b^2+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 15-05-2016 - 01:23

[manh nguyen truc]

đặt $x=\sqrt[3]{a}; y=\sqrt[3]{b}; z=\sqrt[3]{c}$  $\rightarrow \left\{\begin{matrix} x;y;z> 0 & & \\ xyz=1& & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow M=\sum \frac{x^{3}}{y^{6}+z^{6}+x^{3}}$

                       $=\frac{x^{3}}{y^{6}+z^{6}+x^{4}yz}$   (vì xyz=1)

theo BĐT $\sum x^{m+n}\geqslant \frac{1}{3}(x^{m}+y^{m}+z^{m})(x^{n}+y^{n}+z^{n})$

$\rightarrow M=\sum \frac{x^{3}}{y^{6}+z^{6}+x^{4}yz}\leqslant \sum \frac{x^{3}}{yz^{5}+zy^{5}+x^{4}yz}=\sum \frac{x^{3}}{yz(x^{4}+y^{4}+z^{4})}=\sum \frac{x^{4}}{y^{4}+z^{4}+x^{4}}=1$    (vì xyz=1)

suy ra đpcm          

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manh nguyen truc: 15-05-2016 - 00:13