Chủ đề này có 4 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

Cho $n$ số nguyên dương $a_{1};a_{2};...;a_{n}$ sao cho $1\leq a_{k}\leq k(k=\overline{1,n})$ và tổng $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ là số chẵn.Chứng minh ít nhất 1 trong các số dạng $\pm a_{1};\pm a_{2};...;\pm a_{n}$ có giá trị bằng 0

[Chris yang]

Đã là số nguyên dương thì làm sao mà $\pm a_i$ có thể có giá trị bằng $0$ ?

[hoctrocuaHolmes]

Đã là số nguyên dương thì làm sao mà $\pm a_i$ có thể có giá trị bằng $0$ ?

Em cũng chưa hiểu lắm,bài này em thử tổng  quát lên từ bài 3 đề thi vào lớp 10 PTNK ngày 2 năm 2000-2001.

 

 

Bài 3:
1) Cho 4 số nguyên dương $\large a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ sao cho $\large 1 \leq a_{k} \leq k$ với mọi k=1, 2, 3, 4 và tổng $\large S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$ là một số chẵn . Chứng minh rằng có ít nhất một trong các số dạng $\large \pm a_{1},\pm a_{2},\pm a_{3},\pm a_{4} $ có giá trị bằng 0 .

2) Cho 1000 số nguyên dương $\large a_{1},a_{2},...,a_{1000}$ sao cho $\large 1 \leq a_{k} \leq k$ với mọi k=1, 2, ..., 1000 và tổng $\large S=a_{1}+a_{2}+...+a_{1000}$ là một số chẵn . Hỏi trong các số dạng $\large \pm a_{1},\pm a_{2},...,\pm a_{1000} $ có số nào bằng 0 hay không ? Giải thích .

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Em cũng chưa hiểu lắm,bài này em thử tổng  quát lên từ bài 3 đề thi vào lớp 10 PTNK ngày 2 năm 2000-2001.

Với 4 số bạn giải được chưa? Nếu rồi thì mình nghĩ nó cũng tương tự thôi à?
À nếu biết giải câu a thì post luôn nha

[JUV]

Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát hơn: Với $n$ số $a_1,a_2,...,a_n$ thoả mãn đề bài, đặt $t=\sum_{i=1}^{n}a_i$, Đặt $T$ là tập tất cả các số được biểu diễn dưới dạng $\pm a_{1}\pm a_{2}...\pm a_{n}$ thì T sẽ chứa tất cả các số nằm trong khoảng $\left [ -t;t \right ]$ mà cùng tính chẵn lẻ với $t$.

Chứng minh quy nạp,với $n=1$ thì có $1\leq a_1\leq 1$ nên $a_1=1$, mệnh đề hiển nhiên đúng

Với $n=2$ thì có 2 trường hợp hoặc là $(a_1;a_2)=(1;2)$ hoặc $(a_1;a_2)=(1;1)$, tuy nhiên với cả 2 trường hợp thì mệnh đề đều đúng

Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$, xét $n=k+1$, đặt $x=\sum_{i=1}^{k}a_i$, đặt $A$ là tập các số có dạng $\pm a_{1}\pm a_{2}...\pm a_{k+1}$, $B$ là tập các số có dạng $a_{k+1}\pm a_{1}\pm a_{2}...\pm a_{k}$, $C$ là tập các số có dạng $-a_{k+1}\pm a_{1}\pm a_{2}...\pm a_{k}$, $D$ là tập các số có dạng $\pm a_{1}\pm a_{2}...\pm a_{k}$. Theo giả thiết quy nạp, $D$ chứa tất cả các số cùng tính chẵn lẻ với $x$ mà nằm trong khoảng $\left [ -x;x \right ]$. Vì vậy $B$ chứa tất cả các số cùng tính chẵn lẻ với $a_{k+1}+x$ mà nằm trong khoảng $\left [ a_{k+1}-x;a_{k+1}+x \right ]$, $C$ chứa tất cả các số cùng tính chẵn lẻ với $-a_{k+1}+x$ và nằm trong khoảng $\left [ -a_{k+1}-x;-a_{k+1}+x \right ]$ nên A chứa tất các các số cùng tính chẵn lẻ với $a_{k+1}+x$ mà thuộc $\left [ -a_{k+1}-x;-a_{k+1}+x \right ]\cup \left [ a_{k+1}-x;a_{k+1}+x \right ]$. Vì $a_{k+1}\leq k+1\leq x+1$ nên A chứa tất cả các số cùng tính chẵn lẻ với $a_{k+1}+x$ mà thuộc khoảng $\left [ -a_{k+1}-x;a_{k+1}+x\right ]$. Vậy mệnh đề đúng với $n=k+1$, bước chứng minh quy nạp hoàn tất.

Lại có $\sum_{i=1}^{n}a_i$ là số chẵn và 0 có cùng tính chẵn lẻ với $\sum_{i=1}^{n}a_i$ và $0\in \left [ -\sum_{i=1}^{n}a_i;\sum_{i=1}^{n}a_i \right ]$ nên tồn tại 1 cách biểu diễn thoả mãn đề bài sao cho số nhận được bằng 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 19-05-2016 - 00:00