Chủ đề này có 3 trả lời

[xuantungjinkaido]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca+abc\leq 4$

chứng minh rằng $a+b+c\geq ab+bc+ca$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 15-05-2016 - 22:45

[CaptainCuong]

BĐT cần C/m tương đương $a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$

Ta có:$ab+bc+ca+abc\leq 4\Leftrightarrow 12+(ab+ba+ca)+4(a+b+c)\geq 8+4(4a+b+c)+2(ab+bc+ca)+abc\Leftrightarrow (2+a)(2+b)+(2+b)(2+c)(2+c)(2+a)\geq (2+a)(2+b)(2+c)$

 

$\Leftrightarrow\sum \frac{1}{2+a}\geq 1$(**)

Ta có:

$\frac{1}{2+a}=\frac{a+b^2+c^2}{(a+b+1)(a+b^2+c^2)}\leq \frac{a+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}$

Tương tự$\frac{1}{2+b}\leq \frac{b+a^2+c^2}{(a+b+c)^2};\frac{1}{2+c}\leq \frac{c+a^2+b^2}{(a+b+c)^2}$

Cộng 3 bất đẳng thức và sử dụng (**) suy ra $a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$

[leminhnghiatt]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $xy+yz+zx+xyz \leq 4$

chứng minh rằng $x+y+z \geq xy+yz+zx$

 

Không mất tính tổng quát, có thể giả sử:

 

$x \geq 1, y \geq 1$ hoặc $x \leq 1 , y \leq 1$

Khi đó ta có $(1-x)(1-y) \geq 0$

 

$\Leftrightarrow xy+1 \geq x+y$

 

Suy ra $z(xy+1) \geq z(x+y)$

 

$\Leftrightarrow xyz+xy+z \geq xy+yz+zx$

 

Do đó cần CM $x+y+z \geq xyz+xy+z$

 

Hay $x+y+z \geq 4-xy-yz-zx+xy+z$

 

$\Leftrightarrow (x+y)(z+1) \geq 4$

 

Nếu $x=y=0$ thì vô lí nên $x+y+xy>0$ và $z= \frac{4-xy}{x+y+xy}$

 

Vậy
$\Leftrightarrow (x+y)(z+1) \geq 4$

 

$\Leftrightarrow (x+y)(1+\frac{4-xy}{x+y+xy}) \geq 4$

 

$\Leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0$

 

Luôn đúng nên có điều phải CM

 

Bài này đã đc giải trên diễn đàn nhiều lần của anh nthoangcute

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 15-05-2016 - 23:16

[tranductucr1]

BĐT cần C/m tương đương $a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$

Ta có:$ab+bc+ca+abc\leq 4\Leftrightarrow 12+(ab+ba+ca)+4(a+b+c)\geq 8+4(4a+b+c)+2(ab+bc+ca)+abc\Leftrightarrow (2+a)(2+b)+(2+b)(2+c)(2+c)(2+a)\geq (2+a)(2+b)(2+c)$

 

$\Leftrightarrow\sum \frac{1}{2+a}\geq 1$(**)

Ta có:

$\frac{1}{2+a}=\frac{a+b^2+c^2}{(a+b+1)(a+b^2+c^2)}\leq \frac{a+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}$

Tương tự$\frac{1}{2+b}\leq \frac{b+a^2+c^2}{(a+b+c)^2};\frac{1}{2+c}\leq \frac{c+a^2+b^2}{(a+b+c)^2}$

Cộng 3 bất đẳng thức và sử dụng (**) suy ra $a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$

Có gì đó không ổn nhỉ :v 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 16-05-2016 - 11:50