Chủ đề này có 5 trả lời

[Element hero Neos]

Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn $\sum x=6$.

Chứng minh rằng

$\sum 8^x\geq\sum 4^{x+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 19-05-2016 - 21:32

[anhquannbk]

Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn $\sum x=1$.

Chứng minh rằng

$\sum 8^x\geq\sum 4^{x+1}$

$x+y+z=6$ chứ bạn

dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z=2$

[Element hero Neos]

$x+y+z=6$ chứ bạn

dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z=2$

Đã sửa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 19-05-2016 - 21:33

[Dark Magician 2k2]

Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn $\sum x=6$.

Chứng minh rằng

$\sum 8^x\geq\sum 4^{x+1}$

Đặt

$(2^x,2^y,2^z)\rightarrow (a,b,c)$

Suy ra

$\left\{\begin{matrix} a,b,c>0\\ abc=2^{x+y+z}=64 \end{matrix}\right.$

Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành

$\sum a^3\geq 4\sum a^2$

Ta có

$a^3+32-6a^2=(a-4)^2(a+2)\geq 0$

Suy ra

$a^3+32\geq 6a^2$

Tương tự, cộng lại có

$\sum a^3+96\geq 6\sum a^2$

Như vậy, ta cần chứng minh

$6\sum a^2\geq 4\sum a^2+96$

Hay

$2 \sum a^2\geq 96$ (đúng theo AM-GM)

Vậy ta có đpcm.

[linhphammai]

Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn $\sum x=6$.

Chứng minh rằng

$\sum 8^x\geq\sum 4^{x+1}$

Mình không nhớ lắm nhưng bài này có trong một bài giảng về bất đẳng thức mà mình đã từng xem trên youtube

Bài này dùng Cauchy 3 số

Nhưng vì mình ngu vs trí nhớ có hạn nên chỉ nhớ được thế thôi. Mọi người thông cảm...

[anhquannbk]

Đã sửa.

Nếu $x+y+z=6$ thì làm như này

Đặt $a=2^x$, $b=2^y$, $c=2^z$

Khi đó ta có: $abc=64$, $a, b, c>0$

BĐT cần chứng minh trở thành 

$a^3+b^3+c^3\ge 4(a^2+b^2+c^2)$

Ta có

$a^3-4a^2\ge 16(a-4)$ ( tìm ra nhờ bất đẳng thức tiếp tuyến)

Tương tự $b^3-4b^2\ge 16(b-4)$

$c^3-4c^2\ge 16(c-4)$

Cộng lại theo vế và áp dụng BĐT $AM-GM$ cho 3 số $a, b, c$ ta được đpcm.