Chủ đề này có 1 trả lời

[HoaiBao]

Cho $d\mid n$. Khi đó $\forall n\in N^*$ ta được $\sum_{d}\varphi(d)=n$

[hoanglong2k]

Cho $d\mid n$. Khi đó $\forall n\in N^*$ ta được $\sum_{d}\varphi(d)=n$

 Đặt $A=\{1;2;...;n-1;n\}$.

 Chia tập $A$ thành các tập $A_i$ với $i=\overline{1,n}$ thỏa mãn $A_i=\left \{k\in A\mid (n,k)=i\right \}=\left \{k\in A\mid \left (\dfrac{n}{i},\dfrac{k}{i}\right )=1\right \}$

 Khi đó, ta có $\dfrac{k}{i}\leq \dfrac{n}{i}$ và $ \left (\dfrac{n}{i},\dfrac{k}{i}\right )=1$ nên $|A_i|=\varphi \left (\dfrac{n}{i}\right )$

 Từ đó suy ra $n=|A|=\sum_{i\mid n} |A_i|=\sum_{i\mid n} \varphi \left (\dfrac{n}{i}\right )$, chọn $i=\dfrac{n}{d}$ ta có điều cần chứng minh