Cho $d\mid n$. Khi đó $\forall n\in N^*$ ta được $\sum_{d}\varphi(d)=n$
Cho $d\mid n$. Khi đó $\forall n\in N^*$ ta được $\sum_{d}\varphi(d)=n$
Bắt đầu bởi HoaiBao, 20-05-2016 - 10:38
#1
Đã gửi 20-05-2016 - 10:38
#2
Đã gửi 20-05-2016 - 14:00
Cho $d\mid n$. Khi đó $\forall n\in N^*$ ta được $\sum_{d}\varphi(d)=n$
Đặt $A=\{1;2;...;n-1;n\}$.
Chia tập $A$ thành các tập $A_i$ với $i=\overline{1,n}$ thỏa mãn $A_i=\left \{k\in A\mid (n,k)=i\right \}=\left \{k\in A\mid \left (\dfrac{n}{i},\dfrac{k}{i}\right )=1\right \}$
Khi đó, ta có $\dfrac{k}{i}\leq \dfrac{n}{i}$ và $ \left (\dfrac{n}{i},\dfrac{k}{i}\right )=1$ nên $|A_i|=\varphi \left (\dfrac{n}{i}\right )$
Từ đó suy ra $n=|A|=\sum_{i\mid n} |A_i|=\sum_{i\mid n} \varphi \left (\dfrac{n}{i}\right )$, chọn $i=\dfrac{n}{d}$ ta có điều cần chứng minh
- Chris yang và PlanBbyFESN thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh