Chủ đề này có 1 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:         

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \geq \frac{3}{3a+2b+c}+\frac{3}{3b+2c+a}+\frac{3}{3c+2a+b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 20-05-2016 - 15:39

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:         

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \geq \frac{3}{3a+2b+c}+\frac{3}{3b+2c+a}+\frac{3}{3c+2a+b}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{c+a} \geq \dfrac{9}{3a+2b+c}$$

$$\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b} \geq \dfrac{9}{3b+2c+a}$$

$$\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{b+c} \geq \dfrac{9}{3c+2a+b}$$

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên, chia $3$ ở cả hai vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.$\blacksquare$