Chủ đề này có 2 trả lời

[ducmaster12310]

Cho ba số $a,b,c$ đôi một khác nhau. Chứng minh bđt thức sau:

$\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{(a+c)^{2}}{(a-c)^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{(b-c)^{2}}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 21-05-2016 - 16:44

[anhquannbk]

Cho ba số $a,b,c$ đôi một khác nhau. Chứng minh bđt thức sau:

$\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{(a+c)^{2}}{(a-c)^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{(b-c)^{2}}\geq 2$

 

Ta có:

$\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{(a+c)^{2}}{(a-c)^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{(b-c)^{2}}\ge -2(\dfrac{a+b}{a-b}.\dfrac{b+c}{b-c}+\dfrac{a+c}{a-c}.\dfrac{b+c}{b-c}+\dfrac{a+b}{a-b}.\dfrac{a+c}{a-c})$

chú ý đẳng thức

$\dfrac{a+b}{a-b}.\dfrac{b+c}{b-c}+\dfrac{a+c}{a-c}.\dfrac{b+c}{b-c}+\dfrac{a+b}{a-b}.\dfrac{a+c}{a-c}=-1 $

suy ra đpcm

[doremon01]

Ta có:

$\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{(a+c)^{2}}{(a-c)^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{(b-c)^{2}}\ge -2(\dfrac{a+b}{a-b}.\dfrac{b+c}{b-c}+\dfrac{a+c}{a-c}.\dfrac{b+c}{b-c}+\dfrac{a+b}{a-b}.\dfrac{a+c}{a-c})$

chú ý đẳng thức

$\dfrac{a+b}{a-b}.\dfrac{b+c}{b-c}+\dfrac{a+c}{a-c}.\dfrac{b+c}{b-c}+\dfrac{a+b}{a-b}.\dfrac{a+c}{a-c}=-1 $

suy ra đpcm

Hình như chỗ này phải là 

$\dfrac{a+b}{b-a}.\dfrac{b+c}{b-c}+\dfrac{a+c}{a-c}.\dfrac{b+c}{b-c}+\dfrac{a+b}{a-b}.\dfrac{a+c}{a-c}=1$

Đặt 

$x=\frac{a+b}{a-b};y=\frac{a+c}{a-c};z=\frac{b+c}{b-c}$ thì ta có $xy-xz+yz=1$(*) và ta cần CM $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2$ 

Thật vậy:

$(x-y+z)^{2}\geq 0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2(xy-xz+yz)=2$

Ta CM (*) như sau:

$\frac{a+b}{a-b}.\frac{a+c}{a-c}-\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{a+c}{a-c}.\frac{b+c}{b-c}=1\Leftrightarrow \frac{a+b}{a-b}(\frac{a+c}{a-c}-\frac{b+c}{b-c})+\frac{a+c}{a-c}.\frac{b+c}{b-c}=1\Leftrightarrow \frac{a+b}{a-b}.\frac{2c(b-a)}{(a-c)(b-c)}+\frac{a+c}{a-c}.\frac{b+c}{b-c}=1\Leftrightarrow -2c(a+b)+(a+c)(b+c)=(a-c)(b-c)\Leftrightarrow -2ac-2bc+c^{2}+ca+cb+ab=c^{2}-ca-cb+ab$ (luôn đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doremon01: 21-05-2016 - 17:32