Chủ đề này có 2 trả lời

[lenhatsinh3]

CÂU 1: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $(x, y, z)$ thỏa mãn $3^{x}+4^{y}=5^{z}$

CÂU 2: Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm $x, y, z$ thỏa mãn $3^{x}-2^{y}=19^{z}$

CÂU 3: Tìm tất cả  các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn $\left | 3^{x}-2^{y} \right |=1$

[anhquannbk]

CÂU 1: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $(x, y, z)$ thỏa mãn $3^{x}+4^{y}=5^{z}$

CÂU 2: Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm $x, y, z$ thỏa mãn $3^{x}-2^{y}=19^{z}$

CÂU 3: Tìm tất cả  các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn $\left | 3^{x}-2^{y} \right |=1$

Câu 3:

$\left |3^x-2^y\right|=1$

suy ra $3^x-2^y=1$ và $2^y-3^x=1$

$i/$Xét $3^x-2^y=1$

Nếu$y=0$, không thỏa

Nếu $y=1$ thì $x=1$

Nếu $y\ge 2$ thì $4|2^y$ suy ra $3^x\equiv 1$ (mod$4$) nên $x$ chẵn 

Đặt $x=2k$

Suy ra $(3^k-1)(3^k+1)=2^y$

Đặt $ 3^k-1=2^m, 3^k+1=2^n$ với $m<n$, $m+n=y$

ta có: $2^n-2^m=2^m(2^{n-m}-1)=2$

suy ra $m=1, n=2$ suy ra $x=2, y=3$

$ii/$ Xét $2^y-3^x=1$

Nếu $x=0$ thì $y=1$

Nếu $x\ge 1$ thì ta có $2^y \equiv 1$ (mod $3$)

suy ra $y$ chẵn. Đặt $y=2l$

suy ra $(2^l-1)(2^l+1)=3^x$

do $2^l-1<2^l+1$ nên  $2^l-1=1$ và $2^l+1=3^x$

suy ra $y=2, x=1$

Vậy $(x;y)=(1,1), (1,2), (2,3).$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 21-05-2016 - 19:22

[Ankh]

 Bài 1. Ta có $5^z=3^x+4^y\equiv 1\pmod 3\Rightarrow z$ chẵn. Đặt $z=2k$ với $k\in \mathbb{N^*}$ thì $3^x=(5^k-2^y)(5^k+2^y)$

 Từ đó suy ra tồn tại $a,b\in \mathbb{N}$ với $a<b$ sao cho $5^k-2^y=3^a$ và $5^k+2^y=3^b$, suy ra $3^a(3^{b-a}-1)=2^{y+1}$ nên $a=0$

 Nên $5^k-1=2^y$.

   Nếu $k$ chẵn thì $k=2k_1$ với $k_1\in \mathbb{N^*}$ nên $2^y=(5^{k_1}-1)(5^{k_1}+1)$

   Tức là tồn tại $c,d\in \mathbb{N}$ sao cho $5^{k-1}-1=2^c$ và $5^{k-1}+1=2^d\ \Rightarrow 2^c(2^{d-c}-1)=2\Rightarrow c=1,d=1$ vô lí

   Nếu $k$ lẻ thì $k=2k_2+1$ với $k_2\in \mathbb{N}$, suy ra $2^y=5^k-1=5.25^{k_2}-1\equiv 4\pmod 8$, suy ra $y=2,k=1\Rightarrow x=2,z=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ankh: 23-05-2016 - 13:31