Chủ đề này có 2 trả lời

[thinhrost1]

Cho dãy số {$a_n$} được xác định như sau:

 

$\left\{\begin{matrix} a_1=6,a_2=204 & \\  a_{n+1}=34a_n-a_{n-1} & \end{matrix}\right.$

 

Chứng minh $a_n$ không là số chính phương với mọi n.

[Chris yang]

 

Cho dãy số {$a_n$} được xác định như sau:

 

$\left\{\begin{matrix} a_1=6,a_2=204 & \\  a_{n+1}=34a_n-a_{n-1} & \end{matrix}\right.$

 

Chứng minh $a_n$ không là số chính phương với mọi n.

 

 

Trước tiên ta đi tìm CTTQ của $(a_n)$

 

Phương trình đặc trưng: $x^2-34x+1=0$ có nghiệm $x_1=17+12\sqrt{2}$  và $x_2=17-12\sqrt{2}$

 

Do đó $a_n=c_1(17+12\sqrt{2})^n+c_2(17-12\sqrt{2})^n$. Thay $a_1=6,a_2=2014$ vào giải HPT ta thu được CTTQ của $(a_n)$ là

 

$a_n=\frac{(17+12\sqrt{2})^n-(17-12\sqrt{2})^n}{4\sqrt{2}}$

Hay

$\Leftrightarrow a_n=\frac{(3+2\sqrt{2})^n+(3-2\sqrt{2})^n}{2}.\frac{(3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}}=uv$

 

Để ý thấy rằng $u,v$ có dạng nghiệm của PT Pell, áp dụng công thức nghiệm PT Pell loại I ta suy ra $u,v$ là nghiệm của phương trình $u^2-2v^2=1$ $(1)$

 

Ta cần chứng minh $a_n=uv$ không phải scp. Thật vậy, từ $(1)$ dễ thấy $\gcd(u,v)=1$ nên giả sử $uv$ là scp thì $u$ và $v$ phải là scp. 

 

Đổi $(u,v)\mapsto (x^2,y^2)$ thì $2y^4=(x^2-1)(x^2+1)$ $(\star)$. Dễ thấy $x$ lẻ, $y$ chẵn

 

Phải có $4v_2(y)=v_2(x-1)+v_2(x+1)$. Xét modulo $4$ cho $x$ ta thấy $v_2(x-1)+v_2(x+1)$ luôn lẻ, do đó phương trình $(\star)$ vô nghiệm, điều giả sử là sai.

 

Do đó ta có đpcm

 

P.s: Bài này tính toán mệt hơi quá  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 24-05-2016 - 21:23

[thinhrost1]

Trước tiên ta đi tìm CTTQ của $(a_n)$

 

Phương trình đặc trưng: $x^2-34x+1=0$ có nghiệm $x_1=17+12\sqrt{2}$  và $x_2=17-12\sqrt{2}$

 

Do đó $a_n=c_1(17+12\sqrt{2})^n+c_2(17-12\sqrt{2})^n$. Thay $a_1=6,a_2=2014$ vào giải HPT ta thu được CTTQ của $(a_n)$ là

 

$a_n=\frac{(17+12\sqrt{2})^n-(17-12\sqrt{2})^n}{4\sqrt{2}}$

Hay

$\Leftrightarrow a_n=\frac{(3+2\sqrt{2})^n+(3-2\sqrt{2})^n}{2}.\frac{(3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}}=uv$

 

Để ý thấy rằng $u,v$ có dạng nghiệm của PT Pell, áp dụng công thức nghiệm PT Pell loại I ta suy ra $u,v$ là nghiệm của phương trình $u^2-2v^2=1$ $(1)$

 

Ta cần chứng minh $a_n=uv$ không phải scp. Thật vậy, từ $(1)$ dễ thấy $\gcd(u,v)=1$ nên giả sử $uv$ là scp thì $u$ và $v$ phải là scp. 

 

Đổi $(u,v)\mapsto (x^2,y^2)$ thì $2y^4=(x^2-1)(x^2+1)$ $(\star)$. Dễ thấy $x$ lẻ, $y$ chẵn

 

Phải có $4v_2(y)=v_2(x-1)+v_2(x+1)$. Xét modulo $4$ cho $x$ ta thấy $v_2(x-1)+v_2(x+1)$ luôn lẻ, do đó phương trình $(\star)$ vô nghiệm, điều giả sử là sai.

 

Do đó ta có đpcm

 

P.s: Bài này tính toán mệt hơi quá  

Mình xin góp thêm 1 cách cho vui  

 

Đặt $u=\frac{(\sqrt{2}+1)^{2n}+(\sqrt{2}-1)^{2n}}{2},v=\frac{(\sqrt{2}+1)^{2n}-(\sqrt{2}-1)^{2n}}{2\sqrt{2}}$

 

Như bạn đã chứng minh u,v là hai số nguyên và $u^2-2v^2=1$, $(u,v)=1$, nên ta chỉ cần chứng minh một trong 2 số u,v không là số chính phương là xong..

 

Xét:

 

$u=\frac{(\sqrt{2}+1)^{2n}+(\sqrt{2}-1)^{2n}}{2}=[\frac{(\sqrt{2}+1)^n+(\sqrt{2}-1)^n}{\sqrt{2}}]^2-1$

và 

$u=\frac{(\sqrt{2}+1)^{2n}+(\sqrt{2}-1)^{2n}}{2}=[\frac{(\sqrt{2}+1)^n-(\sqrt{2}-1)^n}{\sqrt{2}}]^2+1$

 

Với n lẻ thì $\frac{(\sqrt{2}+1)^n+(\sqrt{2}-1)^n}{\sqrt{2}}$ là một số nguyên và n chẵn thì $\frac{(\sqrt{2}+1)^n-(\sqrt{2}-1)^n}{\sqrt{2}}$ cũng là số nguyên.

Vậy u không là số chính phương với mọi $n$ vậy ta có đpcm