Chủ đề này có 2 trả lời

[Element hero Neos]

Cho a,b,c là các số thực thoả mãn $ab+bc+3ca=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của

$P=a^2+b^2+c^2$

P/s

Đang tìm một lời giải đẹp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 24-05-2016 - 20:34

[Minhnguyenthe333]

Cho a,b,c là các số thực thoả mãn $ab+bc+3ca=1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của

$P=a^2+b^2+c^2$

P/s

Đang tìm một lời giải đẹp

Từ giả thiết$=>b=\frac{1-3ca}{c+a}$
Đặt $S=c+a$ và $P=ca$
Ta có $A=(c+a)^2-2ca+\frac{(1-3ca)^3}{(c+a)^2}=S^2-2P+\frac{(1-3P)^2}{S^2}$

Sử dụng bđt $4ab\leqslant (a+b)^2$
$=>P\leqslant \frac{S^2}{4}$
$=>A\geqslant S^2-\frac{S^2}{2}+\frac{(1-\frac{3S^2}{4})^2}{S^2}=\frac{17S^4-24S^2+16}{16S^2}$

Giả sử $k$ là $GTNN$ của biểu thức $\frac{17S^4-24S^2+16}{16S^2}$

$=>\frac{17S^4-24S^2+16}{16S^2}=k<=>17S^4-(16k+24)S^2+16=0$

$PT$ luôn có $1$ nghiệm nên $\Delta=(16k+24)^2-4.16.17=0<=>k=\frac{\sqrt{17}-3}{2}$

$=>A\geqslant k= \frac{\sqrt{17}-3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=c=\frac{1}{\sqrt[4]{17}}$ và $b=\frac{\sqrt{17}-3}{2\sqrt[4]{17}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 25-05-2016 - 06:25

[phuocchubeo]

Ta đặt: 

$ab=a\sqrt{x}b\frac{1}{\sqrt{x}}\leqslant \frac{a^{2}x+b^{2}\frac{1}{x}}{2}$

$bc=b\sqrt{x}c\frac{1}{\sqrt{x}}\leqslant \frac{b^{2}\frac{1}{x}+c^{2}x}{2}$   

$3ac\leqslant \frac{3a^{2}+3c^{2}}{2}$

$\Rightarrow ab+bc+3ca\leqslant \frac{a^{2}(x+3)+c^{2}(x+3)+b^{2}\cdot \frac{2}{x}}{2}$

Ta sẽ tìm x>0 sao cho $\frac{2}{x}=x+3$

$\Leftrightarrow 2=x^{2}+3x$

$\Leftrightarrow x^{2}+3x+\frac{9}{4}=2+\frac{9}{4}$

$\Leftrightarrow (x+\frac{3}{2})^{2}=\frac{17}{4}$

$\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{17}-3}{2}$ (do x>0)

$\Rightarrow ab+bc+3ac\leqslant \frac{\sqrt{17}-3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{4}{\sqrt{17}-3}$ (do $ab+bc+3ac=1$)

Dấu "=" xảy ra thì bạn tự tìm nha.

Spoiler

Lời giải viết trong lúc buồn ngủ, có thể có sai sót trong tính toán.