Cho a,b,c là các số thực thoả mãn $ab+bc+3ca=1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của
$P=a^2+b^2+c^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 24-05-2016 - 20:34
Cho a,b,c là các số thực thoả mãn $ab+bc+3ca=1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của
$P=a^2+b^2+c^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 24-05-2016 - 20:34
Từ giả thiết$=>b=\frac{1-3ca}{c+a}$Cho a,b,c là các số thực thoả mãn $ab+bc+3ca=1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của$P=a^2+b^2+c^2$
P/s
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 25-05-2016 - 06:25
Ta đặt:
$ab=a\sqrt{x}b\frac{1}{\sqrt{x}}\leqslant \frac{a^{2}x+b^{2}\frac{1}{x}}{2}$
$bc=b\sqrt{x}c\frac{1}{\sqrt{x}}\leqslant \frac{b^{2}\frac{1}{x}+c^{2}x}{2}$
$3ac\leqslant \frac{3a^{2}+3c^{2}}{2}$
$\Rightarrow ab+bc+3ca\leqslant \frac{a^{2}(x+3)+c^{2}(x+3)+b^{2}\cdot \frac{2}{x}}{2}$
Ta sẽ tìm x>0 sao cho $\frac{2}{x}=x+3$
$\Leftrightarrow 2=x^{2}+3x$
$\Leftrightarrow x^{2}+3x+\frac{9}{4}=2+\frac{9}{4}$
$\Leftrightarrow (x+\frac{3}{2})^{2}=\frac{17}{4}$
$\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{17}-3}{2}$ (do x>0)
$\Rightarrow ab+bc+3ac\leqslant \frac{\sqrt{17}-3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$\Rightarrow P\geqslant \frac{4}{\sqrt{17}-3}$ (do $ab+bc+3ac=1$)
Dấu "=" xảy ra thì bạn tự tìm nha.
Tập tõm bước đi trên con đường toán học.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh