Chủ đề này có 6 trả lời

[xuantungjinkaido]

Tìm m,n tự nhiên để A=$2^{m}+3^{n}$ là số chính phương

[Minhnguyenthe333]

Tìm m,n tự nhiên để A=$2^{m}+3^{n}$ là số chính phương

Đặt $t^2=2^m+3^n$
Xét $m=0=>(t-1)(t+1)=3^n$
mà $\gcd(t-1,t+1)=1$
$=>t-1=1<=>t=2=>n=1$

Xét $n=0=>(t-1)(t+1)=2^m$
$=>t-1=2^a$ và $t+1=2^b$ $(a+b=m)$
$<=>2=2^b-2^a$ kéo theo $b=2$ và $a=1$
$=>t=3<=>m=3$

Xét $m,n \geqslant 2=>t$ là số chính phương lẻ
Theo $(mod$ $4)$ suy ra $n$ là số chẵn
$PT<=>(t-3^k)(t+3^k)=2^m$
$<=>t-3^k=2^x$ và $t+3^k=2^y$ $(x+y=m)$
$<=>2^y-2^x=2.3^k<=>3^k=2^{y-1}-2^{x-1}$
Do đó $x=1$ dẫn đến $3^k=2^{y-1}-1$
mà $2^{y-1}-1=3^r.p$ khi $y=2u+1>3$ $(p>3$ và $p$ là số nguyên tố)
Suy ra $y=3<=>k=1<=>n=2=>m=4$
Vậy $(m,n)=(3,0);(0,1);(4,2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 26-05-2016 - 06:44

[xuantungjinkaido]

thiếu nghiệm 

[xuantungjinkaido]

Đặt $t^2=2^m+3^n$

Xét $m=0=>(t-1)(t+1)=3^n$

mà $\gcd(t-1,t+1)=1$

$=>t-1=1<=>t=2=>n=1$

 

Xét $n=0=>(t-1)(t+1)=2^m$

$=>t-1=2^a$ và $t+1=2^b$ $(a+b=m)$

$<=>2=2^b-2^a$ kéo theo $b=2$ và $a=1$

$=>t=3<=>m=3$

 

Xét $m,n \geqslant 2=>t$ là số chính phương lẻ

Theo $(mod$ $4)$ suy ra $n$ là số chẵn

$PT<=>(t-3^k)(t+3^k)=2^m$

$<=>t-3^k=2^x$ và $t+3^k=2^y$ $(x+y=m)$

$<=>2^y-2^x=2.3^k<=>3^k=2^{y-1}-2^{x-1}$

Do đó $x=1$ dẫn đến $t+3^k=2^{m-2}$

Mặt khác $t+3^k=u^{p_1}.v^{p_2}$ $(u,v$ là số nguyên tố$)$

Suy ra $PT$ vô nghiệm khi $m,n\geqslant 2$

 

Vậy $(m,n)=(3,0);(0,1)$

m=4,n=2

 

thiếu nghiệm 

m=4,n=2

[Nam Duong]

Đặt $t^2=2^m+3^n$

Xét $m=0=>(t-1)(t+1)=3^n$

mà $\gcd(t-1,t+1)=1$

$=>t-1=1<=>t=2=>n=1$

 

Xét $n=0=>(t-1)(t+1)=2^m$

$=>t-1=2^a$ và $t+1=2^b$ $(a+b=m)$

$<=>2=2^b-2^a$ kéo theo $b=2$ và $a=1$

$=>t=3<=>m=3$

 

Xét $m,n \geqslant 2=>t$ là số chính phương lẻ

Theo $(mod$ $4)$ suy ra $n$ là số chẵn

$PT<=>(t-3^k)(t+3^k)=2^m$

$<=>t-3^k=2^x$ và $t+3^k=2^y$ $(x+y=m)$

$<=>2^y-2^x=2.3^k<=>3^k=2^{y-1}-2^{x-1}$

Do đó $x=1$ dẫn đến $t+3^k=2^{m-2}$

Mặt khác $t+3^k=u^{p_1}.v^{p_2}$ $(u,v$ là số nguyên tố$)$

Suy ra $PT$ vô nghiệm khi $m,n\geqslant 2$

 

Vậy $(m,n)=(3,0);(0,1)$

đoạn màu đỏ này không hợp lý

[xuantungjinkaido]

có 3 bộ nghiệm đó

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Đặt $t^2=2^m+3^n$
Xét $m=0=>(t-1)(t+1)=3^n$
mà $\gcd(t-1,t+1)=1$
$=>t-1=1<=>t=2=>n=1$

Xét $n=0=>(t-1)(t+1)=2^m$
$=>t-1=2^a$ và $t+1=2^b$ $(a+b=m)$
$<=>2=2^b-2^a$ kéo theo $b=2$ và $a=1$
$=>t=3<=>m=3$

Xét $m,n \geqslant 2=>t$ là số chính phương lẻ
Theo $(mod$ $4)$ suy ra $n$ là số chẵn
$PT<=>(t-3^k)(t+3^k)=2^m$
$<=>t-3^k=2^x$ và $t+3^k=2^y$ $(x+y=m)$
$<=>2^y-2^x=2.3^k<=>3^k=2^{y-1}-2^{x-1}$
Do đó $x=1$ dẫn đến $3^k=2^{y-1}-1$
mà $2^{y-1}-1=3^r.p$ khi $y=2u+1>3$ $(p>3$ và $p$ là số nguyên tố)
Suy ra $y=3<=>k=1<=>n=2=>m=4$
Vậy $(m,n)=(3,0);(0,1);(4,2)$

Tại sao bạn không xét trường hợp $m=1$, $n=1$