Chủ đề này có 2 trả lời

[hoakute]

Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z=3.

Chứng minh :  $\frac{1}{x^{2}+x}+\frac{1}{y^{2}+y}+\frac{1}{z^{2}+z}\geq \frac{3}{2}$

Mk cần cách giải không dùng UCT

[cyndaquil]

Vì $\frac{1}{x^2+x}=\frac 1x- \frac{1}{x+1}$

Nên dễ thấy bdt đã cho $\Leftrightarrow \frac 1x+\frac 1y+\frac 1z \ge \frac 32 +\frac 1{x+1}+\frac 1{y+1} + \frac 1{z+1}$

Ta có $VP \le \frac 32 + \frac 14 \left( \frac 1x+\frac 1y +\frac 1z +3\right)=\frac 94+\frac 14 \left( \frac 1x+\frac 1y+\frac 1z \right)$

Nên chỉ cần chứng minh $\frac 1x+\frac 1y+\frac 1z \ge 3$

Chỗ này dễ rồi

[happyfree]

Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z=3.

Chứng minh :  $\frac{1}{x^{2}+x}+\frac{1}{y^{2}+y}+\frac{1}{z^{2}+z}\geq \frac{3}{2}$

Mk cần cách giải không dùng UCT

$\sum \frac{1}{x^2+x}= \sum \frac{\frac{1}{x}}{x+1} \geq \frac{(\sum \frac{1}{\sqrt{x}})^2}{\sum x+3}=\frac{(\sum \frac{1}{\sqrt{x}})^2}{6}$

Có: $\sum \frac{1}{\sqrt{x}} \geq \frac{9}{\sum \sqrt{x}} \geq \frac{9}{\sum \frac{x+1}{2}}=3$

Từ đó suy ra $\sum \frac{1}{x^2+x} \geq \frac{3}{2} (đpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi happyfree: 29-06-2016 - 23:59