Đặt $\mathbb Q(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2}: a,b\in\mathbb Q\}$.
Nhận thấy đa thức tối tiểu của $x_0$ trên $\mathbb Q(\sqrt{2})[x]$ có bậc nhất hoặc bậc hai, bởi nếu ngược lại thì $f'(x)$ là đa thức tối tiểu của $x_0$ trên $\mathbb Q(\sqrt{2})[x]$. Suy ra $f'(x) \mid f(x) - \sqrt{2}$.
Tuy nhiên bội của nghiệm $x_0$ trong $f(x) - \sqrt{2}$ nhiều hơn bội của nghiệm $x_0$ trong $f'(x)$.
Do đó $x_0$ là nghiệm của $\frac{f(x) - \sqrt{2}}{f'(x)}$, vô lí vì đa thức này có bậc nhất.
Dẫn đến đa thức tối tiểu của $x_0$ trên $\mathbb Q(\sqrt{2})[x]$ có bậc nhất hoặc bậc hai.
$\bullet$ TH1: Đa thức tối tiểu của $x_0$ trên $\mathbb Q(\sqrt{2})[x]$ có bậc nhất: Dễ dàng suy ra được đa thức tối tiểu của $x_0$ trên $\mathbb Q[x]$ là bậc hai, vô lí.
$\bullet$ TH2: Đa thức tối tiểu của $x_0$ trên $\mathbb Q(\sqrt{2})[x]$ có bậc hai: Gọi đa thức này là $M(x)=x^2+(t_1+\sqrt{2}t_2)x+(s_1+\sqrt{2}s_2)$, với $t_1,t_2,s_1,s_2\in\mathbb Q$.
Đặt $M_1(x) = x^2+t_1x+s_1$, $M_2(x) = t_2x+s_2$. Ta có $M(x) = M_1(x) + \sqrt{2}M_2(x)$.
Vì $f'(x_0)=0$ nên $M(x)\mid f'(x)$. Do đó tồn tại $H_1,H_2\in\mathbb Q[x]$ có bậc không vượt quá 1 mà $$\left[H_1(x) + \sqrt{2}H_2(x)\right]M(x)=f'(x)$$
$$\Leftrightarrow \left[ H_1(x) + \sqrt{2}H_2(x)\right]\left[ M_1(x) + \sqrt{2}M_2(x)\right]=f'(x)$$
Do đó $H_2M_1+H_1M_2 \equiv 0$.
Lại có $M_1(x_0) + \sqrt{2}M_2(x_0) =M(x_0) = 0\Rightarrow M_1(x_0) =-\sqrt{2}M_2(x_0)$
$\Rightarrow 0 = H_2(x_0)M_1(x_0) + H_1(x_0)M_2(x_0) = M_2(x_0)\left(H_1(x_0) -\sqrt{2}H_2(x_0)\right) = 0$.
Do đó $M_2(x_0)=0$ hoặc $H_1(x_0) =\sqrt{2}H_2(x_0)$.
Tuy nhiên hai đa thức $M_2(x)$ và $H_1(x) - \sqrt{2}H_2(x)$ đều có bậc nhất. Điều này chứng tỏ đa thức tối tiểu của $x_0$ trên $\mathbb Q(\sqrt{2})[x]$ có bậc nhất, Mâu thuẫn.
Từ hai trường hợp trên ta thấy giả sử ban đầu là sai. Vậy không tồn tại đa thức $f(x)$ thoả mãn yêu cầu bài toán.