cho a,b,c thực dương sao cho $a+b+c=3$ Chứng minh:
$\sum \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{4ab+6c-c^{2}}} \geq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 01-06-2016 - 00:31
cho a,b,c thực dương sao cho a+b+c=3 c/m:
$\sum \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{4ab+6c-c^{2}}}\geq 1$
Ta có: $\sum \dfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{4ab+6c-c^2}}= \sum \dfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{4ab+2(a+b+c)c-c^2}}$
$=\sum \dfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{(2a+c)(2b+c)}} \geq \sum \dfrac{a\sqrt{a}}{a+b+c}=\dfrac{\sum a\sqrt{a}}{3}$
Ta có: $a\sqrt{a}+a\sqrt{a}+1 \geq 3\sqrt[3]{a^3}=3a$
$\rightarrow 2 \sum a\sqrt{a} \geq 3\sum a-3=6$
$\rightarrow a\sqrt{a} \geq 3$
$\rightarrow \sum \dfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{4ab+6c-c^2}} \geq \dfrac{\sum a\sqrt{a}}{3} \geq \dfrac{3}{3}=1 \rightarrow$ đpcm
Dấu "=" $\iff a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 01-06-2016 - 00:16
Don't care
cho a,b,c thực dương sao cho $a+b+c=3$ Chứng minh:
$\sum \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{4ab+6c-c^{2}}} \geq 1$
Đề này trong đề thi thử lớp 10 của thầy Võ Quốc Bá Cẩn
Có thể làm phần đầu cách khác:
--------------
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$4ab+6c-c^2 \leq (a+b)^2+6c-c^2=(3-c)^2+6c-c^2=9$
$\Rightarrow VT=\sum \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{4ab+6c-c^2}} \geq \sum \frac{a\sqrt{a}}{3}$
Sau đó có thể làm tiếp tục như cách giải trên.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh