Chủ đề này có 5 trả lời

[tienduc]

Giả sử x,y,z là các số dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện 

$xy^{2}z^{2}+x^{2}z+y=3z^{2}$

Tìm Min của $P=\frac{z^{4}}{1+x^{4}(x^{4}+y^{4})}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 17-06-2016 - 08:02

[leminhnghiatt]

Giả sử x,y,z là các số dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện 

$xy^{2}z^{2}+x^{2}z+y=3x^{2}$

Tìm Min của $P=\frac{z^{4}}{1+x^{4}(x^{4}+y^{4})}$

 

Điều kiện có phải là thế này không bạn: $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 15-06-2016 - 16:59

[tienduc]

Điều kiện có phải là thế này không bạn: $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$

Điều kiện là $xy^{2}z^{2}+z^{2}x+y=3z^{2}$

[chinh tuy binh quyen]

bạn thử coi đề sai ở đoạn nào nữa o ?

[tienduc]

bạn thử coi đề sai ở đoạn nào nữa o ?

Đề đã sửa rồi

[tienduc]

Từ giả thiết có $xy^{2}+\frac{x^{2}}{z}+\frac{y}{z^{2}}=3$. Đặt $t=\frac{1}{x}$

$\rightarrow xy^{2}+yt^{2}+tx^{2}=3$

$\rightarrow P=\frac{1}{\frac{1}{z^{4}}+x^{4}+y^{4}}=\frac{1}{x^{4}+y^{4}+t^{4}}$

Ta có $x^{4}+1+2y^{4}\geq 2x^{2}+2y^{4}=2(x^{2}+y^{4})\geq 4xy^{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2} =1& \\ y^{2}=1 &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1$(vì x,y>0)

Vậy $x^{4}+1+y^{4}\geq 4xy^{2}$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=1$

CMTT

$y^{4}+1+t^{4}\geq 4yt^{2}$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow y=t=1$

$t^{4}+1+x^{4}\geq 4tx^{2}$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow t=x=1$

Cộng 3 BĐT trên ta có

$3(x^{4}+y^{4}+t^{4})+3\geq 4(xy^{2}+yt^{2}+tx^{2})=12$

$\rightarrow x^{4}+y^{4}+t^{4}\geq 3\rightarrow P\leq \frac{1}{3}$

Dấu bằng xảy ra

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=t=1 & \\ xy^{2}+yt^{2}+tx^{2}=3 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=t=1\Leftrightarrow x=y=z=1$

Vậy Max $P=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 21-06-2016 - 21:19