Chủ đề này có 5 trả lời

[basketball123]

Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$ Tìm $MinP=3(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+xy+yz+zx)+\sqrt{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi basketball123: 16-06-2016 - 16:57

[leminhnghiatt]

Cho x+y+z=1 Tìm $MinP=3(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+xy+yz+zx)+\sqrt{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$

Hình như đề baì có điều kiện $x,y,z \geq 0$

 

Đặt $t=xy+yz+zx \rightarrow t=xy+yz+zx \leq \dfrac{(x+y+z)^2}{3}=\dfrac{1}{3}$

 

$P \geq (xy+yz+zx)^2+3(xy+yz+zx)+\sqrt{2(x+y+z)^2-4(xy+yz+zx)}$

 

$\rightarrow P \geq t^2+3t+\sqrt{2-4t}$

 

TXĐ: $t \in [0;\dfrac{1}{3}]$

 

Ta có: $f(t)'=2t+3-\dfrac{2}{\sqrt{2-4t}}$

 

$f(t)'=0 \rightarrow (2t+3)\sqrt{2-4t}=2$

 

với $t \in [0; \dfrac{1}{3}] \rightarrow (2t+3)\sqrt{2-4t} \geq \sqrt{6}>2$

 

$\rightarrow f(t)'=0$ vô nghiệm

 

$f(0)=\sqrt{2}$

 

$f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{10+3\sqrt{6}}{9}$

 

Vậy $Min_P=f(0)=\sqrt{2} \iff (x;y;z)=(1;0;0)$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 16-06-2016 - 10:48

[tungteng532000]

Hình như đề baì có điều kiện $x,y,z \geq 0$

 

Đặt $t=xy+yz+zx \rightarrow t=xy+yz+zx \leq \dfrac{(x+y+z)^2}{3}=\dfrac{1}{3}$

 

$P \geq (xy+yz+zx)^2+3(xy+yz+zx)+\sqrt{2(x+y+z)^2-4(xy+yz+zx)}$

 

$\rightarrow P \geq t^2+3t+\sqrt{2-4t}$

 

TXĐ: $t \in (0;\dfrac{1}{3}]$

 

Ta có: $f(t)'=2t+3-\dfrac{2}{\sqrt{2-4t}}$

 

$f(t)'=0 \rightarrow (2t+3)\sqrt{2-4t}=2$

 

với $t \in (0; \dfrac{1}{3}] \rightarrow (2t+3)\sqrt{2-4t} \geq \sqrt{6}>2$

 

$\rightarrow f(t)'=0$ vô nghiệm

 

Vậy $Min_P=f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{10+3\sqrt{6}}{9} \iff x=y=z=\dfrac{1}{3}$

Min xảy ra tại (x,y,z)=(0,0,1) mà
Chỗ cuối hàm đồng biến thì f(t)>=f(0) mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 16-06-2016 - 10:40

[leminhnghiatt]

Min xảy ra tại (x,y,z)=(0,0,1) mà
Chỗ cuối hàm đồng biến thì f(t)>=f(0) mà

uk mình làm sai mất cái tập xác định thế xác định luôn, phải là $t \in [0;\dfrac{1}{3}]$

 

Đã sửa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 16-06-2016 - 10:47

[SinCosTan]

Đề có thiếu điều kiện gì không bạn?

[basketball123]

Hình như đề baì có điều kiện $x,y,z \geq 0$

 

Đặt $t=xy+yz+zx \rightarrow t=xy+yz+zx \leq \dfrac{(x+y+z)^2}{3}=\dfrac{1}{3}$

 

$P \geq (xy+yz+zx)^2+3(xy+yz+zx)+\sqrt{2(x+y+z)^2-4(xy+yz+zx)}$

 

$\rightarrow P \geq t^2+3t+\sqrt{2-4t}$

 

TXĐ: $t \in [0;\dfrac{1}{3}]$

 

Ta có: $f(t)'=2t+3-\dfrac{2}{\sqrt{2-4t}}$

 

$f(t)'=0 \rightarrow (2t+3)\sqrt{2-4t}=2$

 

với $t \in [0; \dfrac{1}{3}] \rightarrow (2t+3)\sqrt{2-4t} \geq \sqrt{6}>2$

 

$\rightarrow f(t)'=0$ vô nghiệm

 

$f(0)=\sqrt{2}$

 

$f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{10+3\sqrt{6}}{9}$

 

Vậy $Min_P=f(0)=\sqrt{2} \iff (x;y;z)=(1;0;0)$ và các hoán vị

đk là x,y,z>0 nha bạn