CMR: Tồn tại số $k\in N^{*}$ sao cho 3k có chữ số tận cùng là 001
Chứng minh tồn tại số $k\in N^{*}$
Bắt đầu bởi Trangg Trang, 04-07-2016 - 17:57
#2
Đã gửi 09-07-2016 - 15:08
Chris yang
-
- Thành viên
-
- 223 Bài viết
Thượng sĩ
CMR: Tồn tại số $k\in N^{*}$ sao cho 3k có chữ số tận cùng là 001
Bài này sử dụng định lý Dirichlet
Xét dãy gồm $1001$ số $3^{a_1},3^{a_2}....,3^{a_{1001}}$ khi chia cho $1000$ có khả năng dư $0,1,2,....,999$ ( gồm $1000$ số dư) nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất $\left \lfloor \frac{1001}{1000} \right \rfloor+1=2$ số thuộc dãy trên có cùng số dư. Giả sử đó là $3^{a_i}$ và $3^{a_j}$ ( $a_i<a_j$) thì $3^{a_i}(3^{a_j-a_i}-1)$ chia hết cho $1000$, hay $3^{a_j-a_i}-1\equiv 0\pmod {1000}$, tức là tồn tại số $k=a_j-a_i$ sao cho $3^k$ có tận cùng là $001$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
