Chủ đề này có 2 trả lời

[nilll gate]

Cho $a,b,c >0$ . ... $ab + bc + ca \geq 3$ .... Tìm Min : $\sum \frac{a}{\sqrt{a+b}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 05-07-2016 - 13:56

[tpdtthltvp]

Cho $a,b,c >0$ . ... $ab + bc + ca \geq 3$ .... Tìm Min : $\sum \frac{a}{\sqrt{a+b}}$

Đặt $M=\sum \frac{a}{\sqrt{a+b}},N=a(a+b)+b(b+c)+c(c+a)$

Áp dụng BĐT $Holder:$

$$M^2.N\geq (a+b+c)^3\Leftrightarrow M^2\geq \frac{(a+b+c)^3}{N}$$

Ta sẽ chứng minh:
$$\frac{(a+b+c)^3}{N}\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow 2(a+b+c)^3\geq 9\left [ a(a+b)+b(b+c)+c(c+a) \right ]\Leftrightarrow 2(a+b+c)^3+9(ab+bc+ca)\geq 9(a+b+c)^2$$

BĐT này đúng do:

$$2(a+b+c)^3+9(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^3+(a+b+c)^3+27\geq 9(a+b+c)^2 \text{ (AM-GM)}$$

Vậy $\min \sum \frac{a}{\sqrt{a+b}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1.\blacksquare $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 06-07-2016 - 11:25

[lehakhiem212]

Đặt $M=\sum \frac{a}{\sqrt{a+b}},N=a+b+c$

Áp dụng BĐT $Holder:$

$$M^2.2N\geq N^3\Leftrightarrow 2M^2\geq N^2$$

Mặt khác ta lại có:
$$N^2\geq 3(ab+bc+ca)\geq9\Rightarrow N\geq 3\Rightarrow M\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$$

Vậy $\min \sum \frac{a}{\sqrt{a+b}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1.\blacksquare $

hình như đoạn dùng BĐT Holder có vấn đề. $\sqrt[3]{a^{2}}\neq a$