Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau: $$y^3 -3^x =100.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 07-07-2016 - 10:45
Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau:$y^3 -3^x =100.$
Bắt đầu bởi O0NgocDuy0O, 07-07-2016 - 10:44
#1
Đã gửi 07-07-2016 - 10:44
O0NgocDuy0O
-
- Thành viên
-
- 760 Bài viết
Trung úy
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#2
Đã gửi 09-07-2016 - 16:30
Minhnguyenthe333
-
- Thành viên
-
- 804 Bài viết
Trung úy
$TH1: x$ chẵn. Sử dụng số nguyên Gauss, viết lại phương trình trên $Z[i]$Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau: $$y^3 -3^x =100.$$
$PTy^3=(3^k+10i)(3^k-10i)$. Giả sử $\alpha$ là ước số lớn nhất của $(3^k+10i),(3^k-10i)$
$=>N(\alpha)\mid N(20i)=400$ và $N(\alpha)\mid N(3^k+10i)=3^{2k}+100$
$=>N(\alpha)$ lẻ và $N(\alpha)\mid 3^{2k}$ kéo theo $N(\alpha)=1$
Suy ra $3^k+10i=(m+10in)^3$ với $m,n\in \mathbb{Z}$
Khai triển và rút gọn ta được $3^k+10i=(m^3-300mn^2)+10i(3m^2n-100n^3)$
$=>3m^2n-100n^3=1n(3m^2-100n^2)=1$
Dễ thấy không tồn tại $m$ nên $PT$ vô nghiệm khi $k$ chẵn
$TH2: x$ lẻ. Sử dụng vành số nguyên $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$, viết lại phương trình dưới dạng:
$y^3=(10+\sqrt{3}mi)(10-\sqrt{3}mi)$ với $m=3^{2k}$. Như trên suy ra $10+\sqrt{3}mi=\frac{(a+\sqrt{3}bi)^3}{8}$ với $a,b$ nguyên
Khai triển và rút gọn ta được $a^3-9ab^2=80$ và $3a^2b-3b^3=8m$
Tìm được $a=-4$ và $b=\pm 2$ kéo theo $(x,y)=(5,7)$
P/S: Không chắc chắn về TH2
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 12-07-2016 - 09:15
#3
Đã gửi 10-07-2016 - 17:05
the unknown
-
- Thành viên
-
- 208 Bài viết
Thượng sĩ
Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau: $$y^3 -3^x =100.$$
Dễ chứng minh được $y\equiv 1 (\text{mod 3})$ và đặt $y=3k+1$. Từ đó biến đổi ta có: $3k^3+3k^2-3^{x-2}=11-k$.
Đến đây nếu ta đã loại được giá trị $x=2$ thì để ý rằng $11-k$ chia hết cho $3$. Từ đó ta chặn giá trị $k$ và tìm được bộ số duy nhất thỏa là $(5;7)$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 10-07-2016 - 20:23
$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$
#4
Đã gửi 10-07-2016 - 20:14
Minhnguyenthe333
-
- Thành viên
-
- 804 Bài viết
Trung úy
$VT$ và $VP$ nhận giá trị âm được mà, sao ta chặn được giá trị $k$?
$VT$ và $VP$ nhận giá trị âm thì sao ta chặn được giá trị $k$?Dễ chứng minh được $y\equiv 1 (\text{mod 3})$ và đặt $y=3k+1$. Từ đó biến đổi ta có: $3k^3+3k^2-3^{x-2}=11-k$.
Đến đây nếu ta đã loại được giá trị $x=2$ thì để ý rằng $11-k$ chia hết cho $3$. Từ đó ta chặn giá trị $k$ và tìm được bộ số duy nhất thỏa là $(7,5)$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 10-07-2016 - 21:16
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
