5 replies to this topic

[nilll gate]

.

Edited by nilll gate, 11-07-2016 - 21:14.

[nilll gate]

Ai làm hộ e theo phương pháp cauchy ngược dấu vơi ạ !!!

[thinhnarutop]

Ta có: $\frac{a^{2}}{b^{2}+1}=\frac{a(b^{2}+1)-ab^{2}}{b^{2}+1}=a-\frac{ab^{2}}{b^{2}+1}\geq a-\frac{ab}{2}$

tương tự $\frac{b^{2}}{c^{2}+1}\geq b-\frac{bc}{2}$

               $\frac{c^{2}}{a^{2}+1}\geq c-\frac{ca}{2}$

Do đó $\frac{a^{2}}{b^{2}+1}+\frac{b^{2}}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}}{a^{2}+1}\geq (a+b+c)-(\frac{ab+bc+ca}{2})\geq (a+b+c)-\frac{(a+b+c)^{2}}{6}=\frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra <=> a = b = c = 1

[nguyenduy287]

Ta có: $\frac{a^{2}}{b^{2}+1}=\frac{a(b^{2}+1)-ab^{2}}{b^{2}+1}=a-\frac{ab^{2}}{b^{2}+1}\geq a-\frac{ab}{2}$

tương tự $\frac{b^{2}}{c^{2}+1}\geq b-\frac{bc}{2}$

               $\frac{c^{2}}{a^{2}+1}\geq c-\frac{ca}{2}$

Do đó $\frac{a^{2}}{b^{2}+1}+\frac{b^{2}}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}}{a^{2}+1}\geq (a+b+c)-(\frac{ab+bc+ca}{2})\geq (a+b+c)-\frac{(a+b+c)^{2}}{6}=\frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra <=> a = b = c = 1

Sai rồi kìa bạn tử là bình phương chứ không phải a không đâu cẩn thận xíu

[Namthemaster1234]

Cho a,b,c >0 , a+b+c=3 . Tìm Min : $\frac{a^{2}}{b^{2}+1} + \frac{b^{2}}{c^{2}+1} + \frac{c^{2}}{a^{2}+1}$

 

$\sum \frac{a^2}{b^2+1} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2+b^2+c^2}$

 

Đặt $a^2+b^2+c^2=t$ và để ý $\sum 3a^2b^2 \leq t^2$

 

Khi đó $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2+b^2+c^2} \geq \frac{3t}{t+3} $

 

Do $t \geq 3$ nên $\frac{3t}{t+3} \geq \frac{3}{2}$

[nilll gate]

$\sum \frac{a^2}{b^2+1} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2+b^2+c^2}$

 

Đặt $a^2+b^2+c^2=t$ và để ý $\sum 3a^2b^2 \leq t^2$

 

Khi đó $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2+b^2+c^2} \geq \frac{3t}{t+3} $

 

Do $t \geq 3$ nên $\frac{3t}{t+3} \geq \frac{3}{2}$

tksb

Edited by nilll gate, 11-07-2016 - 22:08.