Cho ba số thực dương $a,b,c$
Chứng minh rằng: $\sqrt[3]{5a^2b+3}+\sqrt[3]{5b^2c+3}+\sqrt[3]{5c^2a+3} \leq \frac{21}{12}(a+b+c)+\frac{1}{4}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$
$\sum \sqrt[3]{5a^2b+3} \leq \frac{21}{12}(\sum a)+\frac{1}{4}(\sum \frac{1}{a^2})$
Bắt đầu bởi happyfree, 13-07-2016 - 20:42
#2
Đã gửi 13-07-2016 - 22:54
9nho10mong
-
- Thành viên
-
- 38 Bài viết
Binh nhất
Cho ba số thực dương $a,b,c$
Chứng minh rằng: $\sqrt[3]{5a^2b+3}+\sqrt[3]{5b^2c+3}+\sqrt[3]{5c^2a+3} \leq \frac{21}{12}(a+b+c)+\frac{1}{4}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$
Dùng AM-GM theo kiểu như sau
$$ 8a+ 8b + \left( 5a + \frac{3}{ab} \right) \ge 12 \sqrt[3]{5a^2b+3} \quad{(i)} $$
Từ $ \displaystyle (i) $ suy ra
$$ VT \le \frac{7}{4} \left( a+b+c \right) + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}\right) $$
Cần chứng minh
$$ \frac{7}{4} \left( a+b+c \right) + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}\right) \le \frac{21}{12} \left( a+b+c \right) + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \right) \quad{(ii)} $$
Bất đẳng thức $ \displaystyle (ii) $ tương đương với kết quả quen thuộc
$$ \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \le \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} $$
Từ đó ta có ngay điều cần phải chứng minh.
.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
