Chủ đề này có 4 trả lời

[NTA1907]

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

[huyqhx9]

$\frac{a^{2}}{b+c} + \frac{b^{2}}{c+a} +\frac{c^{2}}{a+b} = \frac{a^{8}}{a^{6}b+a^{6}c} + \frac{b^{8}}{b^{6}c+ b^{6}a} +\frac{c^{8}}{c^{6}a+c^{6}b}\geq \frac{(a^{4}+b^{4}+c^{4})^{2}}{a^{6}b+a^{6}c+b^{6}c+ b^{6}a+c^{6}a+c^{6}b} \geq \frac{9}{a^{6}b+a^{6}c+b^{6}c+ b^{6}a+c^{6}a+c^{6}b}$

 

ta có : $a^{6}b\leq \left ( \frac{6a+b}{7} \right )^{2}$

tương tự suy ra :$a^{6}b+a^{6}c+b^{6}c+ b^{6}a+c^{6}a+c^{6}b\leq \frac{74 ( a^{2}+b^{2} +c^{2} ) + 24(ab+bc+ac)}{49}$

Lại có: $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\leq 3\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )= 9\rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3$

$ab + bc + ac\le a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3$

vậy:$a^{6}b+a^{6}c+b^{6}c+ b^{6}a+c^{6}a+c^{6}b \leq \frac{74 ( a^{2}+b^{2} +c^{2} ) + 24(ab+bc+ac)}{49}\leq 6$

 

vậy:$\frac{a^{2}}{b+c} + \frac{b^{2}}{c+a} +\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{9}{6}= \frac{3}{2}$

[nilll gate]

Ta có : $a^{4}+b^{4} +c^{4} \geq \frac{(a+b+c)^{4}}{27} <=> 3\geq a+b+c$

$\sum \frac{a^{2}}{b+c} \geq \frac{a+b+c}{2}=\frac{3(a+b+c)}{6} \geq \frac{3(a+b+c)}{2(a+b+c)} =\frac{3}{2}$ (dpcm)

[NTA1907]

$\frac{3(a+b+c)}{6} \geq \frac{3(a+b+c)}{2(a+b+c)} =\frac{3}{2}$

Đoạn này ngược dấu rồi bạn

[Ngockhanh99k48]

Sử dụng BĐT Holder ta có:
$(\sum_{cyc}\frac{a^2}{b+c})^2(\sum_{cyc}a^2(b+c)^2) \geq (a^2+b^2+c^2)^3$. Từ đó ta đi chứng minh $\frac{(a^2+b^2+c^2)^6}{(\sum_{cyc}a^2(b+c)^2)^2} \geq \frac{27(a^4+b^4+c^4)}{16}$. Mặt khác ta có $\sum_{cyc}a^2(b+c)^2 = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 +(ab+bc+ca)^2 \leq 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$. Từ đó ta chỉ cần chứng minh $(a^2+b^2+c^2)^6 \geq 27(a^4+b^4+c^4)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2$. BĐT trên đúng theo AM-GM nên ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngockhanh99k48: 15-07-2016 - 02:14