Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
$\frac{a^{2}}{b+c} + \frac{b^{2}}{c+a} +\frac{c^{2}}{a+b} = \frac{a^{8}}{a^{6}b+a^{6}c} + \frac{b^{8}}{b^{6}c+ b^{6}a} +\frac{c^{8}}{c^{6}a+c^{6}b}\geq \frac{(a^{4}+b^{4}+c^{4})^{2}}{a^{6}b+a^{6}c+b^{6}c+ b^{6}a+c^{6}a+c^{6}b} \geq \frac{9}{a^{6}b+a^{6}c+b^{6}c+ b^{6}a+c^{6}a+c^{6}b}$
ta có : $a^{6}b\leq \left ( \frac{6a+b}{7} \right )^{2}$
tương tự suy ra :$a^{6}b+a^{6}c+b^{6}c+ b^{6}a+c^{6}a+c^{6}b\leq \frac{74 ( a^{2}+b^{2} +c^{2} ) + 24(ab+bc+ac)}{49}$
Lại có: $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\leq 3\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )= 9\rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3$
$ab + bc + ac\le a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3$
vậy:$a^{6}b+a^{6}c+b^{6}c+ b^{6}a+c^{6}a+c^{6}b \leq \frac{74 ( a^{2}+b^{2} +c^{2} ) + 24(ab+bc+ac)}{49}\leq 6$
vậy:$\frac{a^{2}}{b+c} + \frac{b^{2}}{c+a} +\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{9}{6}= \frac{3}{2}$
Ta có : $a^{4}+b^{4} +c^{4} \geq \frac{(a+b+c)^{4}}{27} <=> 3\geq a+b+c$
$\sum \frac{a^{2}}{b+c} \geq \frac{a+b+c}{2}=\frac{3(a+b+c)}{6} \geq \frac{3(a+b+c)}{2(a+b+c)} =\frac{3}{2}$ (dpcm)
$\frac{3(a+b+c)}{6} \geq \frac{3(a+b+c)}{2(a+b+c)} =\frac{3}{2}$
Đoạn này ngược dấu rồi bạn
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngockhanh99k48: 15-07-2016 - 02:14
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh